Tre quesiti di Calcolo 3
Potreste gentilmente dirmi la soluzione di questi quesiti e motivare la risposta??Grazie... 
1) Quale delle seguenti funzioni è soluzione dell'equazione differenziale: $y'+xy''=0$ con condizione iniziale $y(e)=3$
a) $ln(x^3)+3$
b)$lnx$
c)$ln(x^3)$
d)$e^(3x)$
dove $ln$ indica il logaritmo in base $e$
2) Calcolare l'integrale di $f(x;y)=x$ esteso a $D= \{ (x;y) in \mathbb{R}^2 : 4x \leq y \leq -x^2+5x \}$
3)Sia $D$ il rettangolo di vertici i punti di coordinate $ (0;-3); (0; 3); (1;-3)$ e $(1; 3)$. Calcolare l'integrale di $f(x;y)=e^(3x)siny$ esteso a $D$
Ringrazio in anticipo tutti coloro che risponderanno a questi quesiti...la cosa è urgente perché sono tratti dal pretest di Calcolo 3 e l'esame è a giorni!!
1) Quale delle seguenti funzioni è soluzione dell'equazione differenziale: $y'+xy''=0$ con condizione iniziale $y(e)=3$
a) $ln(x^3)+3$
b)$lnx$
c)$ln(x^3)$
d)$e^(3x)$
dove $ln$ indica il logaritmo in base $e$
2) Calcolare l'integrale di $f(x;y)=x$ esteso a $D= \{ (x;y) in \mathbb{R}^2 : 4x \leq y \leq -x^2+5x \}$
3)Sia $D$ il rettangolo di vertici i punti di coordinate $ (0;-3); (0; 3); (1;-3)$ e $(1; 3)$. Calcolare l'integrale di $f(x;y)=e^(3x)siny$ esteso a $D$
Ringrazio in anticipo tutti coloro che risponderanno a questi quesiti...la cosa è urgente perché sono tratti dal pretest di Calcolo 3 e l'esame è a giorni!!
Risposte
L'urgenza dovrebbe spingerti a cercare di farli tu, se hai la prova a giorni. Comincia a postare la tua soluzione o il tuo tentativo, e saremo contenti di aiutarti dove ti blocchi.
"Luca.Lussardi":
L'urgenza dovrebbe spingerti a cercare di farli tu, se hai la prova a giorni. Comincia a postare la tua soluzione o il tuo tentativo, e saremo contenti di aiutarti dove ti blocchi.
ok...hai ragione..posto i miei procedimenti....
1) Ho risolto l'equazione così:
pongo $y'=z$ e $y''=z'$ così abbasso l'ordine ottenendo
$z+xz'=0$ che risolvo separando le variabile
$z= \frac{1}{C_1x}$ per risalire alla y integro questo risultato e mi viene
$ \int \frac{1}{C_1x} dx= \frac {1}{C_1}ln|x|+ C_2$
ora però non so procedere perchè l'equazione è del secondo ordine e io ho solo una condizione iniziale l'unica soluzione che a me sembra logica è la A) ossia $ln(x^3)+3$ dove si è posto nel mio risultato $C_1= \frac{1}{3}$ e $C_2=3$ giusto??
2) Non ci sono proprio riuscito ma forse si può applicate la formula di Gauss-Green...non sono per niente sicuro però qui aiuto davvero!!
3) Disegnando il rettangolo scrivo:
$\int_0^1 \int_-3^3 e^(3x)siny dxdy= \int_0^1 e^(3x) [\int_-3^3 sinydy]dx=$
$\int_0^1 e^(3x) [-cosy]_-3^3dx=0$ giusto??
"Apocalisse86":
1) Ho risolto l'equazione così:
pongo $y'=z$ e $y''=z'$ così abbasso l'ordine ottenendo
$z+xz'=0$ che risolvo separando le variabile
$z= \frac{1}{C_1x}$ per risalire alla y integro questo risultato e mi viene
$ \int \frac{1}{C_1x} dx= \frac {1}{C_1}ln|x|+ C_2$
ora però non so procedere perchè l'equazione è del secondo ordine e io ho solo una condizione iniziale l'unica soluzione che a me sembra logica è la A) ossia $ln(x^3)+3$ dove si è posto nel mio risultato $C_1= \frac{1}{3}$ e $C_2=3$ giusto??
Non è che se vedi una equazione differenziale la devi risolvere per forza!
La soluzione $y(x)=ln(x^3)+3$ non verifica la condizione $y(e)=3$, quindi non può essere giusta. Prova a vedere quale/i delle scelte possibili soddisfano la condizione iniziale...
2) Non ci sono proprio riuscito ma forse si può applicate la formula di Gauss-Green...non sono per niente sicuro però qui aiuto davvero!!
... è un integrale doppio che non presenta particolari difficoltà: trovi i punti di intersezione ponendo $4x=-x^2+5x$, ottenendo 0 e 1, quindi scrivi l'integrale: $\int_0^1 (\int_{4x}^{-x^2+5x} xdy)dx$ e lo risolvi.
3) Disegnando il rettangolo scrivo:
$\int_0^1 \int_-3^3 e^(3x)siny dxdy= \int_0^1 e^(3x) [\int_-3^3 sinydy]dx=$
$\int_0^1 e^(3x) [-cosy]_-3^3dx=0$ giusto??
Giusto.
Se il rpimo esercizio chiede solo di scegliere tra le 4 risposte possibili quella corretta non serve risolvere l'equazione differenziale.
Basta verificare che sia soddisfatta la condizione iniziale , cioè che $y(e) = 3 $ si vede facilemnte che solo la risposta c va bene .
Per scrupolo verifichiamo anche che $y = ln(x^3) $ verifichi l'equazione differenziale e abbiamo :
$y'= 3/x; y'' = -3/x^2 $ e quindi $3/x-x(3/x^2)=0 $ ok.
Basta verificare che sia soddisfatta la condizione iniziale , cioè che $y(e) = 3 $ si vede facilemnte che solo la risposta c va bene .
Per scrupolo verifichiamo anche che $y = ln(x^3) $ verifichi l'equazione differenziale e abbiamo :
$y'= 3/x; y'' = -3/x^2 $ e quindi $3/x-x(3/x^2)=0 $ ok.
@Martino
Per l'integrale doppio: che scemo mi ha ingannato il modo in cui è scritto il dominio grazie. E grazie per aver contralloato l'altro integrale doppio
@Martino e Camillo
Ok non riuscivo a capire dove sostituire i valori della condizione iniziale..cioè avevo capito che non era indispensabile risolvere l'equazione ma poi mi sono perso..grazie mille!!
Per l'integrale doppio: che scemo mi ha ingannato il modo in cui è scritto il dominio grazie. E grazie per aver contralloato l'altro integrale doppio
@Martino e Camillo
Ok non riuscivo a capire dove sostituire i valori della condizione iniziale..cioè avevo capito che non era indispensabile risolvere l'equazione ma poi mi sono perso..grazie mille!!
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