Tre Limiti di Esame
Ehy ragazzi, mi sto esercitando per l'esame e sto facendo 3 esercizi sui limiti presi dagli esami passati.
Il primo che ho cercato di risolvere è questo:
1)Calcolare l'ordine dell'infinitesimo e la parte principale per $x->1^+$ della funzione:
$f(x)=senhsqrt(x-1)-arctansqrt(x-1)$
Ho fatto così:
$ lim_(x -> 1^+) sinhsqrt(x-1)-arctgsqrt(x-1) $ Per $x->1^+$ si ha che $sinhsqrt(x-1)$ tende a o quindi $sinhsqrt(x-1) ~_0 sqrt(x-1)$. Lo stesso vale per $arctgsqrt(x-1) ~_0 sqrt(x-1)$. Adesso sommiamo e sottraiamo 1 otteniamo $sqrt(x-1)+1-1-sqrt(x-1)$ e quindi $(x-1)^(1/2)-1 +1-(x-1)^(1/2)$ e usando il limite notevole otteniamo $(x-1)$ che tende a 0 per $x->1^+$. Adesso poichè è un infinitesimo la confrontiamo con $(x-1)^(alpha)$. Otteniamo adesso $ lim_(x -> 1^+) (x-1)/(x-1) $ quindi sono infinitesimi dello stesso ordine. E' giusto?
2)Stabilire, al variare di k, la parte principale ed ordine per $x->0$ della funzione:
$f(x)=(e^(x^2)-kx^2-cosx)/(x(root(3)(1+(sin^2)x-1))$
Ho fatto così:
Così si ha una forma indeterminata $0/0$. Usando Taylor abbiamo che
$e^(x^2)=1+x^2+o(x^2)$
$cosx=1-(x^2)/2+o(x^2)$
Sostituendo questi e sapendo che al denominatore $root(3)(1+sin^2x)-1=(1+sin^2x)^(1/3)-1 ~ _0 (1/3)(sin^2x)+0(x^2)$ abbiamo :
$ lim_(x -> 0) (x^2-kx^2+(x^2)/2+o(x^2))/(x((1/3)(sin^2x)+o(x^2)) $
Adesso dopo avere fatto il minimo comune multiplo al numeratore ed avere messo in evidenza $x^2$ abbiamo:
$(x(3-2k)+o(x^2))/((2/3)(sin^2x)+o(x^2))$ ovvero poichè $2sin^2x~ _0(2x^2)$ allora otteniamo:
$ lim_(x -> 0)(9-6k)/(2x)=oo$.
Quindi per $x->0 $ abbiamo un infinito che andiamo a confrontare con $u(x)=1/(x^(alpha))$ e a questo pun to abbiamo :
$ lim_(x -> 0)((9-6k)x^((alpha)-1))/2$ eliminando la x al denominatore. Abbiamo a questo punto che :
$ lim_(x -> 0)((9-6k)x^((alpha)-1))/2$ è 1)per $alpha>1$ $0$
2)per $alpha=1$ è $(9-6k)/2$ quindi $AAk!=3/2$ è uguale a $linRR$
3)per $aplha<1$ $oo$
Quindi l'ordine di infinito è 1 con $k!=3/2$ altrimenti sarebbe 0. E' giusto?
3) Il terzo è questo :
$lim_(x->0)(1/(xtan2x)-1/(2sin^2x))$
che non so proprio come risolvere. Ho provato tanti modi ma mi blocco sempre. Voi che mi consiglate di fare?
Il primo che ho cercato di risolvere è questo:
1)Calcolare l'ordine dell'infinitesimo e la parte principale per $x->1^+$ della funzione:
$f(x)=senhsqrt(x-1)-arctansqrt(x-1)$
Ho fatto così:
$ lim_(x -> 1^+) sinhsqrt(x-1)-arctgsqrt(x-1) $ Per $x->1^+$ si ha che $sinhsqrt(x-1)$ tende a o quindi $sinhsqrt(x-1) ~_0 sqrt(x-1)$. Lo stesso vale per $arctgsqrt(x-1) ~_0 sqrt(x-1)$. Adesso sommiamo e sottraiamo 1 otteniamo $sqrt(x-1)+1-1-sqrt(x-1)$ e quindi $(x-1)^(1/2)-1 +1-(x-1)^(1/2)$ e usando il limite notevole otteniamo $(x-1)$ che tende a 0 per $x->1^+$. Adesso poichè è un infinitesimo la confrontiamo con $(x-1)^(alpha)$. Otteniamo adesso $ lim_(x -> 1^+) (x-1)/(x-1) $ quindi sono infinitesimi dello stesso ordine. E' giusto?
2)Stabilire, al variare di k, la parte principale ed ordine per $x->0$ della funzione:
$f(x)=(e^(x^2)-kx^2-cosx)/(x(root(3)(1+(sin^2)x-1))$
Ho fatto così:
Così si ha una forma indeterminata $0/0$. Usando Taylor abbiamo che
$e^(x^2)=1+x^2+o(x^2)$
$cosx=1-(x^2)/2+o(x^2)$
Sostituendo questi e sapendo che al denominatore $root(3)(1+sin^2x)-1=(1+sin^2x)^(1/3)-1 ~ _0 (1/3)(sin^2x)+0(x^2)$ abbiamo :
$ lim_(x -> 0) (x^2-kx^2+(x^2)/2+o(x^2))/(x((1/3)(sin^2x)+o(x^2)) $
Adesso dopo avere fatto il minimo comune multiplo al numeratore ed avere messo in evidenza $x^2$ abbiamo:
$(x(3-2k)+o(x^2))/((2/3)(sin^2x)+o(x^2))$ ovvero poichè $2sin^2x~ _0(2x^2)$ allora otteniamo:
$ lim_(x -> 0)(9-6k)/(2x)=oo$.
Quindi per $x->0 $ abbiamo un infinito che andiamo a confrontare con $u(x)=1/(x^(alpha))$ e a questo pun to abbiamo :
$ lim_(x -> 0)((9-6k)x^((alpha)-1))/2$ eliminando la x al denominatore. Abbiamo a questo punto che :
$ lim_(x -> 0)((9-6k)x^((alpha)-1))/2$ è 1)per $alpha>1$ $0$
2)per $alpha=1$ è $(9-6k)/2$ quindi $AAk!=3/2$ è uguale a $linRR$
3)per $aplha<1$ $oo$
Quindi l'ordine di infinito è 1 con $k!=3/2$ altrimenti sarebbe 0. E' giusto?
3) Il terzo è questo :
$lim_(x->0)(1/(xtan2x)-1/(2sin^2x))$
che non so proprio come risolvere. Ho provato tanti modi ma mi blocco sempre. Voi che mi consiglate di fare?
Risposte
EHy ragazzi sono in attesa delle vostre risposte nel frattempo sto facendo questo esercizio:
Discutere al variare di $a in RR$ la discontinuità in $x=0$ della funzione:
$f(x)={ ( 1/(2^(1/x)-a) )x!=0,( 0 )x=0:} $
Per discutere la discontinuità devo fare il limite destro e sinistro della funzione? oppure devo fare la derivata destra e sinistra nel punto 0 e discutere come varia la continuità della funzione al variare di a?
Discutere al variare di $a in RR$ la discontinuità in $x=0$ della funzione:
$f(x)={ ( 1/(2^(1/x)-a) )x!=0,( 0 )x=0:} $
Per discutere la discontinuità devo fare il limite destro e sinistro della funzione? oppure devo fare la derivata destra e sinistra nel punto 0 e discutere come varia la continuità della funzione al variare di a?
"AlexlovesUSA":
EHy ragazzi sono in attesa delle vostre risposte nel frattempo sto facendo questo esercizio:
Discutere al variare di $a in RR$ la discontinuità in $x=0$ della funzione:
$f(x)={ ( 1/(2^(1/x)-a) )x!=0,( 0 )x=0:} $
Per discutere la discontinuità devo fare il limite destro e sinistro della funzione? oppure devo fare la derivata destra e sinistra nel punto 0 e discutere come varia la continuità della funzione al variare di a?
Per la continuità basta fare il limite destro e sinistro in zero.
Per il terzo comincia a sostituire i denominatori con i loro polinomi di Taylor.
Grazie per la risposta. Per il terzo farò così, per gli alti 2 invece? Sono giusti?
sul primo ti coviene sviluppare $sinh(sqrt(x - 1)$ e $arctg(sqrt(x - 1))$ fino ad secondo membro, così i 2 membri che hai ottenuto tu si annullano ,am quelli di secondo grado rimangono.
Che significa? Così come ho fatto io è giusto o sbagliato? Per quanto riguarda l'esercizio sulla continuità ho fatto limite destro e sinistro di 0 e ottengo
LIM DESTRO = $1/(+oo-a)$
LIM SINISTRO=$1/(-oo-a)$
Che significa questo che è continua per ogni $ a in RR$? Perchè se a è un reale viene zero.
LIM DESTRO = $1/(+oo-a)$
LIM SINISTRO=$1/(-oo-a)$
Che significa questo che è continua per ogni $ a in RR$? Perchè se a è un reale viene zero.
Ragazzi, aspetto vostre risposte.
"stefano_89":
sul primo ti coviene sviluppare $sinh(sqrt(x - 1)$ e $arctg(sqrt(x - 1))$ fino ad secondo membro, così i 2 membri che hai ottenuto tu si annullano ,am quelli di secondo grado rimangono.
Volevo dire:
$sinh(sqrt(x - 1)) = sqrt(x - 1) + (sqrt(x - 1))^3/6$
$arctg(sqrt(x - 1)) = sqrt(x - 1)+ (sqrt(x - 1))^3/3$
Quindi i termini di primo grado si semplificano, e restano gli altri due..
"AlexlovesUSA":
Che significa questo che è continua per ogni $ a in RR$? Perchè se a è un reale viene zero.
Si è giusto.
Ok adesso va bene. Grazie
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