Tre integrali di funzioni fratte che non riesco risolvere (bene)
Ciao forum, vi posto 3 esercizi che ho svolto... male visto che non mi trovo con il risultato, ma non riesco a trovare gli errori
1) $int (3x^2)/(x^3 + x^2 + 3x + 3)$ = $3/4log|x+1| + 9/5log(x^2 + 3) - 3/4 root(2)(3) arctan(1/3 x root(2)(3)) + c$
il denominatore si scompone come $(x + 1)(x^2 + 3)$ ed abbiamo
$A/(x + 1) + (Bx + C)/(x^2 + 3) => (A+B)x^2 + (B+C)x + (3A+B+C) => A=0, B=3, C=-3$
e l'integrale di partenza diventa
$int (3x - 3)/(x^2 + 3) = int (3x)/(x^2 + 3) - 3int 1/(x^2 + 3) = 3/2int (2x)/(x^2 + 3) - 3/3int 1/((x/[root(2)(3)])^2 + 1) $
$= 3/2log|x + 3| - arctan(x/root(2)(3))$
Intanto lascio questo... gli altri due nei successivi messaggi
1) $int (3x^2)/(x^3 + x^2 + 3x + 3)$ = $3/4log|x+1| + 9/5log(x^2 + 3) - 3/4 root(2)(3) arctan(1/3 x root(2)(3)) + c$
il denominatore si scompone come $(x + 1)(x^2 + 3)$ ed abbiamo
$A/(x + 1) + (Bx + C)/(x^2 + 3) => (A+B)x^2 + (B+C)x + (3A+B+C) => A=0, B=3, C=-3$
e l'integrale di partenza diventa
$int (3x - 3)/(x^2 + 3) = int (3x)/(x^2 + 3) - 3int 1/(x^2 + 3) = 3/2int (2x)/(x^2 + 3) - 3/3int 1/((x/[root(2)(3)])^2 + 1) $
$= 3/2log|x + 3| - arctan(x/root(2)(3))$
Intanto lascio questo... gli altri due nei successivi messaggi
Risposte
2) $int (3x^2 - 3)/(x^4 + x^2 + 1) = 3/2 log |(x^2-x+1)/(x^2+x+1)| + c $
Pongo $z=x^2$, $x^2 = (-1 +- root(2)(3)) => int (3x^2 - 3)/[(x - i root(2)((1+ root(2)(3))/2))(x - i root(2)((-1+ root(2)(3))/2)) ]$
e poi boh
Pongo $z=x^2$, $x^2 = (-1 +- root(2)(3)) => int (3x^2 - 3)/[(x - i root(2)((1+ root(2)(3))/2))(x - i root(2)((-1+ root(2)(3))/2)) ]$
e poi boh
cominciamo col 2) vuoi che te lo risolva o che ti insegni a risolverlo?
io se fossi in te cercherei di scomporre il denominatore...già ma come si fa?
Semplice...aggiungiamo $ +x^2 -x^2 $ ed il gioco è fatto....
$ 3(x^2-1)/((x^2+x+1)(x^2-x+1) $
il resto sono solo conticini..non ho fatto i conti ma così ad occhio...con i fratti semplici dovresti trovarti ok con la soluzione....
nel 1) hai sbagliato la scomposizione in fratti semplici
il 3) ha il procedimento giusto ma ci sono troppi conti e non ho voglia di farli...rifallo!
io se fossi in te cercherei di scomporre il denominatore...già ma come si fa?
Semplice...aggiungiamo $ +x^2 -x^2 $ ed il gioco è fatto....
$ 3(x^2-1)/((x^2+x+1)(x^2-x+1) $
il resto sono solo conticini..non ho fatto i conti ma così ad occhio...con i fratti semplici dovresti trovarti ok con la soluzione....
nel 1) hai sbagliato la scomposizione in fratti semplici
il 3) ha il procedimento giusto ma ci sono troppi conti e non ho voglia di farli...rifallo!
3) $int (2x^2)/(6x^2 -7x -3) = 1/3 x -2/99 log|x+1/3| + 9/22 log(x- 3/2) + c$
Riscrivo l'integrale come somma tra il quoziente e il rapporto tra resto e denominatore
$int 1/3 + (7/3 x + 1)/(6x^2 -7x -3) = x/3 + 7/36 int (12x -7 +7)/(6x^2 -7x -3) + int 1/(6x^2 -7x -3) = x/3 + 7/36 log(6x^2 -7x -3) + int (49+36)/(36(6x^2 -7x -3)) $
L'ultimo integrale diventa
$ 85/36 int 1/(6x^2 -7x -3) = 85/36 int 1/[(x- 7/12)^2 - (root(2)(121)/12)^2] = 85/(3root(2)(121)) arctan[(12x -7)/root(2)(121)] $
e quindi
$x/3 + 7/36 log(6x^2 -7x -3) + int (49+36)/(36(6x^2 -7x -3)) + 85/(3root(2)(121)) arctan[(12x -7)/root(2)(121)] $
Riscrivo l'integrale come somma tra il quoziente e il rapporto tra resto e denominatore
$int 1/3 + (7/3 x + 1)/(6x^2 -7x -3) = x/3 + 7/36 int (12x -7 +7)/(6x^2 -7x -3) + int 1/(6x^2 -7x -3) = x/3 + 7/36 log(6x^2 -7x -3) + int (49+36)/(36(6x^2 -7x -3)) $
L'ultimo integrale diventa
$ 85/36 int 1/(6x^2 -7x -3) = 85/36 int 1/[(x- 7/12)^2 - (root(2)(121)/12)^2] = 85/(3root(2)(121)) arctan[(12x -7)/root(2)(121)] $
e quindi
$x/3 + 7/36 log(6x^2 -7x -3) + int (49+36)/(36(6x^2 -7x -3)) + 85/(3root(2)(121)) arctan[(12x -7)/root(2)(121)] $
Ovviamente mi interessa imparare 
ricapitolando:
1) la scomposizione della funzione integranda è sbagliata. Se rifai i conti vedrai che viene:
$ (3x^2)/((x+1)(x^2+3))=A/(x+1)+(Bx+C)/(x^2+3)=3/(4(x+1))+9(x-1)/(4(x^2+3) $ quindi devi rifare i conti
2) aggiungiamo $ +x^2 -x^2 $ al denominatore che quindi diventa una differenza di quadrati...scomponendosi così:
$ 3(x^2-1)/((x^2+x+1)(x^2-x+1) $
il resto sono solo conticini..non ho fatto i conti ma così ad occhio...con i fratti semplici dovresti trovarti ok con la soluzione....
3) il procedimento mi sembra giusto ma ci sono troppi conti e non ho voglia di farli...rifallo!
1) la scomposizione della funzione integranda è sbagliata. Se rifai i conti vedrai che viene:
$ (3x^2)/((x+1)(x^2+3))=A/(x+1)+(Bx+C)/(x^2+3)=3/(4(x+1))+9(x-1)/(4(x^2+3) $ quindi devi rifare i conti
2) aggiungiamo $ +x^2 -x^2 $ al denominatore che quindi diventa una differenza di quadrati...scomponendosi così:
$ 3(x^2-1)/((x^2+x+1)(x^2-x+1) $
il resto sono solo conticini..non ho fatto i conti ma così ad occhio...con i fratti semplici dovresti trovarti ok con la soluzione....
3) il procedimento mi sembra giusto ma ci sono troppi conti e non ho voglia di farli...rifallo!
Per il secondo.
Si in effetti era quello che stavo provando a fare (scomporre il denominatore). Questo trucchetto non lo sapevo ma ancora non l'ho capito... si rifà a qualche prodotto notevole? [edit] ora ho letto che è la differenza di due quadrati, sarà che sono arrugginito ma non riesco a vederli
Per gli altri due rifarò i conti, l'importante è che so che ho sbagliato i calcoli!
Si in effetti era quello che stavo provando a fare (scomporre il denominatore). Questo trucchetto non lo sapevo ma ancora non l'ho capito... si rifà a qualche prodotto notevole? [edit] ora ho letto che è la differenza di due quadrati, sarà che sono arrugginito ma non riesco a vederli
Per gli altri due rifarò i conti, l'importante è che so che ho sbagliato i calcoli!
va beh intanto che aspettavo una tua risposta ho fatto i conti del 2)...così spero sia più chiara la scomposizione...
$ int (3x^2-3)/(x^4+x^2+1) dx =3int (x^2-1)/((x^4+2x^2+1)-x^2) dx=3int (x^2-1)/((x^2+1)^2-x^2) dx $
$ 3int (x^2-1)/((x^2+x+1)(x^2-x+1)) dx=...=3/2int (2x-1)/((x^2-x+1))dx-3/2int (2x+1)/((x^2+x+1))dx$
$3/2log|x^2-x+1|-3/2log|x^2+x+1|+C$
il resto lo lascio a te...ora hai tutti i mezzi per risolvere gli altri...sono semplicissimi ma occorre fare attenzione ai calcoli...soprattutto alla scomposizione in fratti semplici dove ti vedo un po' tentennante....ma è normale all'inizio....
buon lavoro
$ int (3x^2-3)/(x^4+x^2+1) dx =3int (x^2-1)/((x^4+2x^2+1)-x^2) dx=3int (x^2-1)/((x^2+1)^2-x^2) dx $
$ 3int (x^2-1)/((x^2+x+1)(x^2-x+1)) dx=...=3/2int (2x-1)/((x^2-x+1))dx-3/2int (2x+1)/((x^2+x+1))dx$
$3/2log|x^2-x+1|-3/2log|x^2+x+1|+C$
il resto lo lascio a te...ora hai tutti i mezzi per risolvere gli altri...sono semplicissimi ma occorre fare attenzione ai calcoli...soprattutto alla scomposizione in fratti semplici dove ti vedo un po' tentennante....ma è normale all'inizio....
buon lavoro
Ah ecco 
... grazie mille!
Si in effetti sbaglio sempre i calcoli nelle scomposizioni in fratti semplici... non ho fatto chissà quanti esercizi ma ne ho fatti abbastanza... dovrò impegnarmi di più.
Grazie ancora per l'aiuto
... grazie mille!Si in effetti sbaglio sempre i calcoli nelle scomposizioni in fratti semplici... non ho fatto chissà quanti esercizi ma ne ho fatti abbastanza... dovrò impegnarmi di più.
Grazie ancora per l'aiuto
anyway...do not hesitate to ask for help...ora vado che devo uscire....
"tommik":
va beh intanto che aspettavo una tua risposta ho fatto i conti del 2)...così spero sia più chiara la scomposizione...
$ int (3x^2-3)/(x^4+x^2+1) dx =3int (x^2-1)/((x^4+2x^2+1)-x^2) dx=3int (x^2-1)/((x^2+1)^2-x^2) dx $
$ 3int (x^2-1)/((x^2+x+1)(x^2-x+1)) dx=...=3/2int (2x-1)/((x^2-x+1))dx-3/2int (2x+1)/((x^2+x+1))dx$
$3/2log|x^2-x+1|-3/2log|x^2+x+1|+C$
il resto lo lascio a te...ora hai tutti i mezzi per risolvere gli altri...sono semplicissimi ma occorre fare attenzione ai calcoli...soprattutto alla scomposizione in fratti semplici dove ti vedo un po' tentennante....ma è normale all'inizio....
buon lavoro
Scusa se rompo ancora... ma dove hai messo i puntini hai proceduto usando la scomposizione in fratti semplici? Sai che non riesco ad arrivare alla parte dopo i puntini?
Io ho provato a scriverli come $(Ax + B)/(x^2-x+1) + (Cx + D)/(x^2+x+1)$ ... non è questo il procedimento?
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