Tre esercizi di analisi complessa
Dimostrare che la funzione $u(x,y)=e^x(x^2+y^2)$ non può essere la parte reale o immaginaria di una funzione analitica.
Data la funzione $u(x,y)=e^-x(xseny-ycosy)$ si determini $v(x,y)$ in modo tale che $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ sia analitica,esplicitando poi l'espressione di $f(z)$.
Determinare i valore del parametro $alpha$ per cui la funzione $u(x,y)=(alpha+1)x^2-y^2+x$ risulti la parte reale di una funzione analitica e per tale valore trovare la funzione coniugata $v(x,y)$.
Data la funzione $u(x,y)=e^-x(xseny-ycosy)$ si determini $v(x,y)$ in modo tale che $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ sia analitica,esplicitando poi l'espressione di $f(z)$.
Determinare i valore del parametro $alpha$ per cui la funzione $u(x,y)=(alpha+1)x^2-y^2+x$ risulti la parte reale di una funzione analitica e per tale valore trovare la funzione coniugata $v(x,y)$.
Risposte
1) la funzione è sì di classe $C^2$, ma non ha il laplaciano identicamente nullo, dunque non è una funzione armonica
3) imponendo il laplaciano identicamente nullo, risulta $a=0$ e l'armonica coniugata è $v(x,y) = 2xy+y$
3) imponendo il laplaciano identicamente nullo, risulta $a=0$ e l'armonica coniugata è $v(x,y) = 2xy+y$
scusate se dico sciocchezze però per vedere se una funzione è analitica non credo basti dimostrare che è armonica.Mi pare di ricordare che se è analitica è armonica ma non il viceversa..mi viene in mente la funzione f(z)=x-iy la quale ha laplaciano nullo ma non rispetta le Cauchy-Riemann (e quindi non è analitica)...mi sbaglio?
Non e' la funzione (analitica) che deve essere armonica ma le sue componenti
reale ed immaginaria.Questa condizione e' necessaria ma non sufficiente e pertanto
se non e' verificata ,come nel caso attuale,non esiste la funzione analitica di cui u(x,y)
sia la parte reale (od immaginaria).
Nel caso del secondo esercizio,essendo la u(x,y) di classe $ C^(oo)$ ed armonica ,si puo' provare
a trovare la parte immaginaria v(x,y) tramite le condizioni di Cauchy-Riemann.
Con calcoli noti si ricava che , a meno di una costante (immaginaria) ,e':
$v(x,y)=e^(-x)(xcosy+ysiny)$ e giocando un poco con gli immaginari si ha che :
$f(z)=ize^(-z)$
karl
reale ed immaginaria.Questa condizione e' necessaria ma non sufficiente e pertanto
se non e' verificata ,come nel caso attuale,non esiste la funzione analitica di cui u(x,y)
sia la parte reale (od immaginaria).
Nel caso del secondo esercizio,essendo la u(x,y) di classe $ C^(oo)$ ed armonica ,si puo' provare
a trovare la parte immaginaria v(x,y) tramite le condizioni di Cauchy-Riemann.
Con calcoli noti si ricava che , a meno di una costante (immaginaria) ,e':
$v(x,y)=e^(-x)(xcosy+ysiny)$ e giocando un poco con gli immaginari si ha che :
$f(z)=ize^(-z)$
karl
non ho capito bene come dovrei comportarmi con il primo esercizio.. 
Per il primo esercizio calcola $ (del^2u)/(delx^2) $ e anche $(del^2u)/(delx^2)$ , fai la somma delle due funzioni e vedrai che non è nulla, quindi la funzione $u(x,y) $ non è armonica cioè non verifica la identità :
$ (del ^2u)/(delx^2) +(del^2u)/(dely^2) = 0 $ e quindi come dice karl ( e come si deduce dalle condizioni di Cauchy-Riemann) non può essere nè componenete reale nè immaginaria di una funzione analitica.
Edit : aggiunto : (e come si deduce dalle condizioni di Cauchy-Riemann)
$ (del ^2u)/(delx^2) +(del^2u)/(dely^2) = 0 $ e quindi come dice karl ( e come si deduce dalle condizioni di Cauchy-Riemann) non può essere nè componenete reale nè immaginaria di una funzione analitica.
Edit : aggiunto : (e come si deduce dalle condizioni di Cauchy-Riemann)
"Camillo":
Per il primo esercizio calcola $ (del^2u)/(delx^2) $ e anche $(del^2u)/(delx^2)$ , fai la somma delle due funzioni e vedrai che non è nulla, quindi la funzione $u(x,y) $ non è armonica cioè non verifica la identità :
$ (del ^2u)/(delx^2) +(del^2u)/(dely^2) = 0 $ e quindi come dice karl non può essere nè componenete reale nè immaginaria di una funzione analitica.
grazie mille
"karl":
Questa condizione e' necessaria ma non sufficiente
Non vorrei aver frainteso quanto detto da karl, però il fatto che una funzione $u(x,y)$ sia armonica è condizione necessaria affinché sia la parte reale di una funzione analitica, verissimo... tuttavia tale condizione è anche sufficiente se l'insieme di olomorfia considerato è un aperto semplicemente connesso, quindi in un aperto semplicemente connesso ogni funzione armonica è dotata di armonica coniugata. Visto che stiamo considerando l'intero piano complesso $CC$ allora la condizione
"$u(x,y)$ armonica" è necessaria e sufficiente affinché esista un'altra funzione armonica $v(x,y)$ tale che esista una funzione $f(z)=f(x,y)=u(x,y)+jv(x,y)$ olomorfa nell'aperto semplicemente connesso considerato
top ecco vedi questo non lo sapevo 
adesso mi torna tutto^^
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