Trasformazione del piano

[Gianmaria31]

Premetto che non ho ancora mai lavorato in R^2 e che probabilmente il quesito è molto semplice, ma mi mancano i concetti.
Più che risolvere il dato esercizio avrei dei dubbi che vi elenco sotto il testo:

Sia f la seguente funzione
f(x,x') = (x+x', x-3x')

Verificare che per ogni coppia (x,x') e(y,y') e per ogni k
a. f(x+y,x'+y') = f(x,x')+f(y,y')
b. f(kx,kx') = kf(x,x')

Ciò che non ho chiaro è:
Le espressioni nei due punti a e b non risultano proprietà banalmente valide per ogni funzione f e per ogni punto?

risolvendo la b. ho proceduto così:
f(kx,kx') = (kx+kx',kx-3kx')
kf(x,x') = kf(x+x', x-3x')
Per la definizione di prodotto vettore-scalare i due secondi membri sono equivalenti. é corretto? Sto dando per scontato qualcosa che dovrei dimostrare?

Per quanto riguarda il punto a invece, come dovrei muovermi?

[LLG GKV]

entrambi i punti sono piuttosto semplici, basta scrivere esplicitamente la funzione f(x+y;x'+y') e a quel punto risulterà banale, la tua domanda, invece sulla proprietà delle funzioni di due variabili ha inevitabilmente risposta negativa, infatti ad esempio, puoi considerare funzioni periodiche di due variabili, periodiche secondo due direzioni (ad esempio le funzioni abeliane) e ti renderai conto subito che se fosse come dici te allora queste funzioni non potrebbero esistere.