Trasformate di Fourier e residui
come si calcola una trasformata di Fourier con il metodo dei residui?
Es. f(t) = (sin(3t)) / (9t^2+4)
grazie infinite
siete i migliori !!!
jim81
Es. f(t) = (sin(3t)) / (9t^2+4)
grazie infinite
siete i migliori !!!
jim81
Risposte
Ma f(t) e' scritta a dovere?
Archimede.
Archimede.
scusate la fretta...
la funzione in f(t) è => [sin(3t)] / (9t^2 + 4)
scusate ancora...sono con la testa all'esame...
grazie
jim81
la funzione in f(t) è => [sin(3t)] / (9t^2 + 4)
scusate ancora...sono con la testa all'esame...
grazie
jim81
si possono calcolare anche antitraformate di Fourier con i residui??
come ??
grazie infinite
jim81
come ??
grazie infinite
jim81
Scusate, ma per me la matematica è soprattutto "bellezza" e queste curve sono proprio belle ...
Per cominciare e' :
$f(t)=(e^(+3it)-e^(-3it))/(2i)*1/(9t^2+4)$
Pertanto la FT e':
$FT=\int_{-oo}^(+oo)(e^(+3it)-e^(-3it))/(2i)*1/(9t^2+4)*e^(-i\omega t)dt=1/(2i)\int_{-oo}^(+oo)e^((3-\omega)*it)/(9t^2+4)dt-1/(2i)\int_{-oo}^(+oo)e^((-3-\omega)*it)/(9t^2+4)dt$
A questo punto occorre calcolare i due integrali tramite i residui delle funzioni integrande
nei poli semplici $t=-(2i)/3,t=+(2i)/3$ e poi applicare la formula:
integrale =$ 2\pi*i(somma residui)$.
Il risultato,supponendo che tutto sia andato bene, e':
$FT=(\pi*i)/6[cosh(2(3-\omega)/3)-cosh(2(3+\omega)/3)]$
Tieni anche presente che la FT puo' assumere forme diverse a seconda del
valore della costante davanti all'integrale.
Archimede.
$f(t)=(e^(+3it)-e^(-3it))/(2i)*1/(9t^2+4)$
Pertanto la FT e':
$FT=\int_{-oo}^(+oo)(e^(+3it)-e^(-3it))/(2i)*1/(9t^2+4)*e^(-i\omega t)dt=1/(2i)\int_{-oo}^(+oo)e^((3-\omega)*it)/(9t^2+4)dt-1/(2i)\int_{-oo}^(+oo)e^((-3-\omega)*it)/(9t^2+4)dt$
A questo punto occorre calcolare i due integrali tramite i residui delle funzioni integrande
nei poli semplici $t=-(2i)/3,t=+(2i)/3$ e poi applicare la formula:
integrale =$ 2\pi*i(somma residui)$.
Il risultato,supponendo che tutto sia andato bene, e':
$FT=(\pi*i)/6[cosh(2(3-\omega)/3)-cosh(2(3+\omega)/3)]$
Tieni anche presente che la FT puo' assumere forme diverse a seconda del
valore della costante davanti all'integrale.
Archimede.
Cosa rappresentano quelle curve, Arriama?
Lo so che sta scritto sotto
, ma non so cosa sia esattamente la trasformata di Fourier...!
Fabio
Lo so che sta scritto sotto
, ma non so cosa sia esattamente la trasformata di Fourier...!Fabio
6 un drago !!!!!!
grazie
jim81
grazie
jim81
Per SaturnV.
La trasormata di Fourier, in soldoni, è un operatore che trasforma una funzione in un'altra secondo una certa formula integrale. Se vuoi, puoi guardare il programma che ho messo in linea e che esegue tale trasformata :
http://lnx.arrigoamadori.com/CalcoloNumerico/TrasformataDiFourier/trasformatadifourier.htm
In esso puoi vedere anche la formula che definisce una trasformazione di Fourier e puoi approssimarne da te il grafico (attento alla sintassi e alla condizione che la funzione di partenza, come in queso caso, sia piccola per |x| crescente !!).
Nel grafico in questione, la curva nera rappresenta la funzione di cui fai la trasformata di Fourier. la curva rossa rappresenta la componente reale della trasormata e la curva blu, la componente immaginaria della trasformata.
Per archimede.
Mi sembra a prima vista che la tua soluzione teorica non coincida con quella (grafica) data dal mio programmino. Chi sbaglia ... ?
La trasormata di Fourier, in soldoni, è un operatore che trasforma una funzione in un'altra secondo una certa formula integrale. Se vuoi, puoi guardare il programma che ho messo in linea e che esegue tale trasformata :
http://lnx.arrigoamadori.com/CalcoloNumerico/TrasformataDiFourier/trasformatadifourier.htm
In esso puoi vedere anche la formula che definisce una trasformazione di Fourier e puoi approssimarne da te il grafico (attento alla sintassi e alla condizione che la funzione di partenza, come in queso caso, sia piccola per |x| crescente !!).
Nel grafico in questione, la curva nera rappresenta la funzione di cui fai la trasformata di Fourier. la curva rossa rappresenta la componente reale della trasormata e la curva blu, la componente immaginaria della trasformata.
Per archimede.
Mi sembra a prima vista che la tua soluzione teorica non coincida con quella (grafica) data dal mio programmino. Chi sbaglia ... ?
@arriama
ho controllato la soluzione con Mathematica e coincide!
Archimede
ho controllato la soluzione con Mathematica e coincide!
Archimede
Nulla da dire sulla potenza di Mathematica !!!
Però, la soluzione che proponi mi sembra divergente. Il suo grafico, se non ho preso un granchio, mi risulta :
Ora, per il teorema di Riemann-Lebesgue, la trasformata di Fourier di una funzione sommabile su R, dovrebbe convergere a 0 all'infinito (sempre se non prendo granchi ...)
Però, la soluzione che proponi mi sembra divergente. Il suo grafico, se non ho preso un granchio, mi risulta :
Ora, per il teorema di Riemann-Lebesgue, la trasformata di Fourier di una funzione sommabile su R, dovrebbe convergere a 0 all'infinito (sempre se non prendo granchi ...)
Puo' darsi che abbia sbagliato qualche calcolo ma il procedimento resta
quello.Del resto l'amico Jimo potra' fare un utile esercizio rifacendo
i calcoli sulla traccia da me data.
Saluti.
Archimede.
quello.Del resto l'amico Jimo potra' fare un utile esercizio rifacendo
i calcoli sulla traccia da me data.
Saluti.
Archimede.
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