Trasformate di fourier

[jimivanzar]

amici ho esame a breve e la prof. non c'è mai a ricevimento...chiedo aiuto a voi...

1) quando una funzione f(t) appartiene allo spazio vettoriale L1 e quando a L2 ??

2) io devo calcolare la tasformata di fourier con il metodo dei residui.

ad esempio$ f (t) = (sin (3t)) / (9t^2+4)$

trasformo con le forme di eulero in esponenziali$ f (t) = (e^(i3t) - e^ (-i3t) )/ (2i*(9t^2 + 4))$

trovo i poli che sono $(-2/3)* i$ e $(+2/3)*i $

faccio le disequazioni per distinguere i vari intervalli ecc..

la mia domanda è il segno di $(2 *pi* i ) $quando calcolo i limiti dipende dal segno del polo che uso nel limite o dal segno della disequazione > (maggiore) o < (minore) ?????

grazie infinite
se non avete chiaro il quesito ditemelo
siete dei miti
jim81

[Sk_Anonymous]

"jimorrison81":
1) quando una funzione f(t) appartiene allo spazio vettoriale L1 e quando a L2 ??

...mi limito al caso reale! Se $p \in \mathbb{R}^+$, $n\in \mathbb{Z}^+$ ed $\Omega$ è un sottoinsieme di $\mathbb{R}^n$ misurabile secondo Lebesgue, si pone $L^p(\Omega) := \{f: \Omega \to K$ t.c. $\exists \int_\Omega |f|^p$ finito$\}$, dove $K$ è indifferentemente il campo reale o complesso.

EDIT: mi è chiaro, stavo in trip!

[jimivanzar]

mi è ancora vaga la spiegazione...

mi fai un'esempio di una funzione che appartiene a L1 ed una che appartiene a L2
grazie $oo$

[Kroldar]

Scusa DavidHilbert ma $(sen(x))/x$ non è sommabile su $RR$... come fai a dire che appartiene a $L^1(RR)$?

[Bandit1]

[quote=jimorrison81] dice:
1) quando una funzione f(t) appartiene allo spazio vettoriale L1 e quando a L2 ??


$f(x) $ appartiene a L1 , se e soltanto se $|f(x)| $ è sommabile
$f(x) $ appartiene a L2 , se e soltanto se $|f(x)|^2 $ è sommabile

[jimivanzar]

quando una funzione è sommabile?
all'altra domanda avete una risposta??
grazie mille

[Kroldar]

una funzione $f(t)$ è sommabile se il suo modulo è integrabile tra $-oo$ e $+oo$ dunque se esiste finito $int_-oo^(+oo) |f(t)|dt$
l'altra domanda non mi è chiara, non capisco di quali limiti parli

[Sk_Anonymous]

"Kroldar":Scusa DavidHilbert ma $(sen(x))/x$ non è sommabile su $RR$... come fai a dire che appartiene a $L^1(RR)$?

...chiedo venia, i problemi di Sturm-Liouville debbono avermi dato alla testa!

[jimivanzar]

tenedo conto dell'esempio di prima ottengo in integrali la tasformata di fourier pari a
$int _(-oo)^(+oo) [e^[(it)*(3-s)]]/[2*i*(9t^2 + 4)] dt - int _(-oo)^(+oo) [e^[(it)*(-3-s)]]/[2*i*(9t^2 + 4)] dt$

per cui ottengo la disequazione $3-s>0$ che ha soluzione $s<3$
poi calcolerò ogni polo in ogni intervallo ed unisco gli intervalli

un intervallo sarà $lim_(t-> 2/3i) [e^[(i*t)*(3-s)]] /(2*i*(18t)) * -2pi*i$

non so se il segno di $2pi*i$ è giusto

il segno di $2pi*i$ dipende dal maggiore o minore o dipende dal segno del polo ??

mi avete capito??

ottengo così poi la soluzione dei vari intervalli e li unisco.

così vuole il mio prof.

la mia domanda verte sul segno + o - di $2pi*i$

[Sk_Anonymous]

"jimorrison81":
mi fai un'esempio di una funzione che appartiene a L1 ed una che appartiene a L2

Sia $f: $[$\pi, +\infty$[$ \to \mathbb{R}: x \mapsto \frac{\sin(x)}{x}$. Poiché $\int_{\pi}^{+\infty} |f(x)|^2 dx \le \int_{\pi}^{+\infty} \frac{dx}{x^2} < +\infty$, banalmente $f \in L^2([\pi, +\infty[)$. Ciò nondimeno, $f$ non appartiene ad $L^1([\pi, +\infty[)$. Per assurdo, ammettiamo infatti che esista finito $\int_{\pi}^{+\infty} |f(x)| dx = \lim_{t \to +\infty} \int_{\pi}^t |f(x)| dx$. Allora in particolare $\int_{\pi}^{+\infty} |f(x)| dx = \lim_{n \to \infty} i_n$, dove si è posto $i_n := \int_{\pi}^{n\pi} |f(x)| dx$, per ogni $n \in \mathbb{Z}^+$. Senonché $\lim_{n \to \infty} i_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n-1} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |f(x)| dx $ $\ge \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k+1}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |\sin(x)| dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{2}{n+1} = +\infty$, assurdo! Da qui la conclusione.

[jimivanzar]

un grande !!!!
ora ho capito !!!
all'altra domanda mi riesci a rispondere??
un amico mi dice che il segno del $2pi*i$ dipende dal segno maggiore o minore della disequazione, è vero?