Trasformata Zeta (unilatera) di una potenza di matrice
Sapreste indicarmi la dimostrazione di: [tex]\sum_{k=0}^\infty A^k \cdot step(k) \cdot z^{-k} = z(zI-A)^{-1}[/tex], Trasformata Zeta (unilatera) di [tex]A^k \cdot step(k)[/tex]?
Qual'è la ROC (Regione di convergenza) della trasformata?
PS: [tex]step(k) = \left\{ \begin{array}{ll}1&k\ge0\\0&k<0\end{array}[/tex];
[tex]A[/tex], matrice complessa costante;
Qual'è la ROC (Regione di convergenza) della trasformata?
PS: [tex]step(k) = \left\{ \begin{array}{ll}1&k\ge0\\0&k<0\end{array}[/tex];
[tex]A[/tex], matrice complessa costante;
Risposte
poichè la serie comprende solo k>0, la funzione a gradino è semplicemente 1.
e $sum_(k=0)^(+oo)A^k/z^k$ non è nient'altro che la serie dell'operatore che per definizione è, essendo una serie geometrica, uguale a:
$1/(mathbb{1}-A/z)=z/(zmathbb{1}-A)$. Questa serie è nota come serie di Neumann e converge se la norma dell'operatore A è <|z|
e $sum_(k=0)^(+oo)A^k/z^k$ non è nient'altro che la serie dell'operatore che per definizione è, essendo una serie geometrica, uguale a:
$1/(mathbb{1}-A/z)=z/(zmathbb{1}-A)$. Questa serie è nota come serie di Neumann e converge se la norma dell'operatore A è <|z|
Beh adesso non mi fate fare il matematico rompiscatole, ma...
la serie dell'operatore che per definizione è, essendo una serie geometrica, uguale a:Non è una definizione, ma un teorema: se un operatore lineare $B$ in uno spazio di Banach è tale che $||B||<1$ allora $(I-B)$ è bigettivo e la serie $sum_{n=1}^\infty B^n$ converge a $(I-B)^{-1}$.
$1/(mathbb{1}-A/z)$E' pericoloso scrivere le matrici inverse come frazioni. Questa sembra ancora di più una pignoleria da matematico e invece è ancora più importante: il prodotto di matrici non è commutativo, quindi in generale $AB^{-1}$ è diverso da $B^{-1}A$: come fare a distinguerli se scriviamo $A/B$?
in effetti non me li hanno fatti mai porre sti problemni... 
ma ben vengano, in questi casi non sono pignolerie da matematico...Anche se devo dire che in quel caso il numeratore è l'unità, e l'unità commuta con T U T T O ...
e poi io pensavo che la storia della serie di taylor di un operatore è una cosa generale, cioè che una funzione di operatori è definita come la serie dy taylor della funzione rispetto a tale operatore, e difatti oltre quelal geometrica ho incontrato spesso anche gli esponenziali degli operatori, definiti come sviluppo in serie dell'esponenziale.
E inoltre sapevo di un teorema che dice che la funzione di un operatore ha come autovettori l'autovettore dell'operatore stesso e come autovalori la funzione degli autovalori...
Com'è la verità?
ma ben vengano, in questi casi non sono pignolerie da matematico...Anche se devo dire che in quel caso il numeratore è l'unità, e l'unità commuta con T U T T O ...e poi io pensavo che la storia della serie di taylor di un operatore è una cosa generale, cioè che una funzione di operatori è definita come la serie dy taylor della funzione rispetto a tale operatore, e difatti oltre quelal geometrica ho incontrato spesso anche gli esponenziali degli operatori, definiti come sviluppo in serie dell'esponenziale.
E inoltre sapevo di un teorema che dice che la funzione di un operatore ha come autovettori l'autovettore dell'operatore stesso e come autovalori la funzione degli autovalori...
Com'è la verità?
Beh, credo sia sempre la stessa storia... Infatti, sempre una serie geometrica è.
Provo una dimostrazione per analogia.
In generale, se [tex]$M$[/tex] è una matrice quadrata (reale o complessa) con norma piccola, diciamo [tex]$\lVert M\rVert <1$[/tex] hai:
[tex]$\sum_{k=0}^{+\infty} M^k =(I-M)^{-1}$[/tex];
la dimostrazione è sempre la stessa: prendi la somma parziale [tex]$K$[/tex]-esima e scrivi:
[tex]$\begin{align*} \sum_{k=0}^{K} M^k &= I+M+\cdots +M^K \\ M\sum_{k=0}^{K} &= M+M^2+\cdots +M^{K+1} \end{align*}$[/tex]
da cui, sottraendo m.a.m., trovi:
[tex]$(I-M)\ \sum_{k=0}^K M^k =I-M^{K+1}$[/tex].
Passando al limite e tenendo presente che se la norma di [tex]$M$[/tex] è piccola si ha [tex]$M^K\to O$[/tex] ([tex]$O$[/tex] matrice nulla), quindi:
[tex]$(I-M)\ \sum_{k=0}^{+\infty} M^k =I$[/tex]
ossia:
[tex]$\sum_{k=0}^{+\infty} M^k = (I-M)^{-1}$[/tex].
Acquisito questo risultato, la tua formula viene da sé.
Infatti:
[tex]$\sum_{k=0}^{+\infty} A^k\ \frac{1}{z^k} =\sum_{k=0}^{+\infty} \left( \frac{1}{z}\ A\right)^k = (I-\tfrac{1}{z}\ A)^{-1} = z\ (zI-A)^{-1}$[/tex]
e la r.d.c. è definita dalla limitazione [tex]$\left\lVert \frac{1}{z}\ A\right\rVert <1$[/tex], ossia [tex]$|z|>\lVert A\rVert$[/tex].
@antani e dissonance: Della serie Tutto in 15 minuti...
Provo una dimostrazione per analogia.
In generale, se [tex]$M$[/tex] è una matrice quadrata (reale o complessa) con norma piccola, diciamo [tex]$\lVert M\rVert <1$[/tex] hai:
[tex]$\sum_{k=0}^{+\infty} M^k =(I-M)^{-1}$[/tex];
la dimostrazione è sempre la stessa: prendi la somma parziale [tex]$K$[/tex]-esima e scrivi:
[tex]$\begin{align*} \sum_{k=0}^{K} M^k &= I+M+\cdots +M^K \\ M\sum_{k=0}^{K} &= M+M^2+\cdots +M^{K+1} \end{align*}$[/tex]
da cui, sottraendo m.a.m., trovi:
[tex]$(I-M)\ \sum_{k=0}^K M^k =I-M^{K+1}$[/tex].
Passando al limite e tenendo presente che se la norma di [tex]$M$[/tex] è piccola si ha [tex]$M^K\to O$[/tex] ([tex]$O$[/tex] matrice nulla), quindi:
[tex]$(I-M)\ \sum_{k=0}^{+\infty} M^k =I$[/tex]
ossia:
[tex]$\sum_{k=0}^{+\infty} M^k = (I-M)^{-1}$[/tex].
Acquisito questo risultato, la tua formula viene da sé.
Infatti:
[tex]$\sum_{k=0}^{+\infty} A^k\ \frac{1}{z^k} =\sum_{k=0}^{+\infty} \left( \frac{1}{z}\ A\right)^k = (I-\tfrac{1}{z}\ A)^{-1} = z\ (zI-A)^{-1}$[/tex]
e la r.d.c. è definita dalla limitazione [tex]$\left\lVert \frac{1}{z}\ A\right\rVert <1$[/tex], ossia [tex]$|z|>\lVert A\rVert$[/tex].
@antani e dissonance: Della serie Tutto in 15 minuti...
l'identità commuta con tuttoSicuro ma non è questo il problema. Se scrivi $1/(I-A)$ la cosa ha senso in sé ma poi ti darà problemi se la usi nei conti: come interpretare $B/(I-A)$, come $B(I-A)^{-1}$ o come $(I-A)^{-1}B$?
"antani":Dietro questo teorema c'è molta matematica. Come la definisci una "funzione di un operatore"? Lo puoi fare usando somme e prodotti: se $A, B$ sono operatori limitati (senza questa ipotesi tutto si complica ancora di più) possiamo definire $A+B$ e $AB$ in modo ovvio. Così si definiscono i polinomi di operatori: $a_nA^n+a_{n-1}A^{n-1}+...+a_1A+a_0I$ ha senso. Ti puoi estendere alle serie di potenze di operatori ma niente di più. In generale avrai bisogno di un teorema spettrale: il caso più semplice riguarda gli operatori autoaggiunti compatti e si chiama Teorema di Hilbert-Schmidt, probabilmente lo conosci. Su questi teoremi si basa la teoria delle funzioni di operatori, proprio ciò che sto studiando in questi giorni.
E inoltre sapevo di un teorema che dice che la funzione di un operatore ha come autovettori l'autovettore dell'operatore stesso e come autovalori la funzione degli autovalori...
sì sì ma io penso che quello della serie geometrica sia l'unico caso in cui scrivo l'operatore così coem una frazione, anche perchè oltre quello e l'esponenziale credo di non aver mai scritto altri tipi di funzione di operatori (botta di culo )
invece la storia di somme e prodotti di operatori, come mai se non son limitati allora è diverso? in meccancia quantistica credo che quasi nessun operatore sia limitato, eppure nessuno si fa problemi a scrivere $P^2,\ \x^2,\ \xz, $ ecc... che IN R o in R2 o in R3 non sono mai limitati
)invece la storia di somme e prodotti di operatori, come mai se non son limitati allora è diverso? in meccancia quantistica credo che quasi nessun operatore sia limitato, eppure nessuno si fa problemi a scrivere $P^2,\ \x^2,\ \xz, $ ecc... che IN R o in R2 o in R3 non sono mai limitati
La r.d.c. è definita dalla limitazione $ || \frac{1}{z}\ A || <1$, ossia $|z|>||A||$
Quale norma matriciale si intende in questo caso?
$(I-M)\ \sum_{k=0}^{+\infty} M^k =I$ ossia: $\sum_{k=0}^{+\infty} M^k = (I-M)^{-1}$.
Si sottointende che $(I-M)$ è invertibile? Qualora non lo fosse, come cambia la Regione di Convergenza?
"Shaka":La r.d.c. è definita dalla limitazione [tex]$ || \frac{1}{z}\ A || <1$[/tex], ossia [tex]$|z|>||A||$[/tex]
Quale norma matriciale si intende in questo caso?
Ad esempio la norma operatioriale indotta da quella che usi in [tex]$\mathbb{C}^n$[/tex], i.e. [tex]$\lVert A\rVert := \sup_{|x|\leq 1} |Ax|$[/tex].
"Shaka":[tex]$(I-M)\ \sum_{k=0}^{+\infty} M^k =I$[/tex] ossia: [tex]$\sum_{k=0}^{+\infty} M^k = (I-M)^{-1}$[/tex].
Si sottointende che $(I-M)$ è invertibile? Qualora non lo fosse, come cambia la Regione di Convergenza?
Non si sottointende nulla: hai trovato che, se [tex]$\lVert M\rVert <1$[/tex], la matrice [tex]$\sum_{k=0}^{+\infty} M^k$[/tex] è un'inversa destra di [tex]$I-M$[/tex]; allo stesso modo si prova che essa è un'inversa pure a sinistra. Quindi [tex]$I-M$[/tex] è invertibile e [tex]$\sum_{k=0}^{+\infty} M^k =(I-M)^{-1}$[/tex].
"gugo82":In ambito numerico queste norme di matrice si dicono norme indotte da norme vettoriali. Mi pare di ricordare che questo teorema è valido con tutte e sole le norme indotte, nel senso che se una norma di matrice non è indotta da una di vettore allora non funziona.
Ad esempio la norma operatioriale indotta da quella che usi in [tex]$\mathbb{C}^n$[/tex], i.e. [tex]$\lVert A\rVert := \sup_{|x|\leq 1} |Ax|$[/tex].
(Un esempio di norma di matrice non indotta da una di vettore è la norma di Frobenius:
[tex]$\left\lVert \begin{bmatrix} a_{i, j} \end{bmatrix}_{1\le i, j \le n} \right\rVert_F^2=\sum_{i, j=1}^n \lvert a_{i, j} \rvert^2[/tex]
si vede subito che per [tex]n>1[/tex]non è indotta da norme vettoriali perché [tex]\lVert I \rVert_F^2=n[/tex].)
Di sicuro, però, il teorema è vero con tutte le norme indotte.
È possibile scrivere la condizione di convergenza $|z|>||A||$ in funzione degli autovalori di $A$?
Hai bisogno di qualche proprietà di struttura di $A$, però. Se è Hermitiana e se la norma è indotta dalla norma euclidea di $CC^n$, allora si dimostra che $||A||$ è uguale al massimo modulo degli autovalori. Ma questo non è sempre vero.
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