Trasformata zeta $n^k$
Salve a tutti .... di nuovo!
Approfitto ancora di voi per calcolare la trasformata zeta del segnale $a(n)=n^k$ in particolare mi interessa per k=3.
Ho provato ad applicare la formula di derivazione della trasformata ho derivato 3 volte $\sum_{n=0}^\infty z^(-n)$ ottenendo
$\sum_{n=3}^\infty (-n)(-n-1)(-n-2)z^(-n-3)$
cioè
$z^(-3)\sum_{n=3}^\infty (n^3+3n^2+2n)z^(-n)$
ottenendo infine che
$Z[n^3]=\sum_{n=3}^\infty n^3z^(-n)=-z^3(3\sum_{n=3}^\infty n^2z^(-n) +2\sum_{n=3}^\infty nz^(-n))$
ma mi sono un po incartato.....
come posso fare?????
attendo vostre notizie
Approfitto ancora di voi per calcolare la trasformata zeta del segnale $a(n)=n^k$ in particolare mi interessa per k=3.
Ho provato ad applicare la formula di derivazione della trasformata ho derivato 3 volte $\sum_{n=0}^\infty z^(-n)$ ottenendo
$\sum_{n=3}^\infty (-n)(-n-1)(-n-2)z^(-n-3)$
cioè
$z^(-3)\sum_{n=3}^\infty (n^3+3n^2+2n)z^(-n)$
ottenendo infine che
$Z[n^3]=\sum_{n=3}^\infty n^3z^(-n)=-z^3(3\sum_{n=3}^\infty n^2z^(-n) +2\sum_{n=3}^\infty nz^(-n))$
ma mi sono un po incartato.....
come posso fare?????
attendo vostre notizie
Risposte
Io avrei proceduto così....
$\sum_{n=0}^\infty n*z^{-n} = -z\sum_{n=0}^\infty D_z (z^{-n}) = -z D_z(\sum_{n=0}^\infty z^{-n})$
$\sum_{n=0}^\infty n^2 *z^{-n} = \sum_{n=0}^\infty n*(n*z^{-n}) = \sum_{n=0}^\infty n*(-z D_z(z^{-n})) = -zD_z(\sum_{n=0}^\infty n*z^{-n})$
e così avanti sostituendo il risultato precedente, e poi ancora così con $n^3 * z^{-n}$
$\sum_{n=0}^\infty n*z^{-n} = -z\sum_{n=0}^\infty D_z (z^{-n}) = -z D_z(\sum_{n=0}^\infty z^{-n})$
$\sum_{n=0}^\infty n^2 *z^{-n} = \sum_{n=0}^\infty n*(n*z^{-n}) = \sum_{n=0}^\infty n*(-z D_z(z^{-n})) = -zD_z(\sum_{n=0}^\infty n*z^{-n})$
e così avanti sostituendo il risultato precedente, e poi ancora così con $n^3 * z^{-n}$
Ho provato a fare come dici tu e alla fine mi trovo:
$-(z^3+4z^2+z)/(z-1)^4$
ho provato ad anitrasformare ma nn mi trovo!!!!
$-(z^3+4z^2+z)/(z-1)^4$
ho provato ad anitrasformare ma nn mi trovo!!!!
.... ho provato a rifare in altro modo...
$\sum_{n=0} n^3 z^{-n} = \sum_{n=0} n*n^2*z^{-n} = -z D_z(\sum_{n=0} n^2 z^{-n}) = .. = -zD_z(-zD_z(-zD_z(\sum_{n=0}^\infty z^{-n})))$
facendo così ottengo
$(z^3 + 4z^2 + z)/(z-1)^4$
e antitrasformando col metodo delle divisioni successive, sembra tornare infatti il quoziente è
$z^{-1} + 2^3 z^{-2} + 3^3 z^{-3} + ... $
$\sum_{n=0} n^3 z^{-n} = \sum_{n=0} n*n^2*z^{-n} = -z D_z(\sum_{n=0} n^2 z^{-n}) = .. = -zD_z(-zD_z(-zD_z(\sum_{n=0}^\infty z^{-n})))$
facendo così ottengo
$(z^3 + 4z^2 + z)/(z-1)^4$
e antitrasformando col metodo delle divisioni successive, sembra tornare infatti il quoziente è
$z^{-1} + 2^3 z^{-2} + 3^3 z^{-3} + ... $
"Ska":
.... ho provato a rifare in altro modo...
$\sum_{n=0} n^3 z^{-n} = \sum_{n=0} n*n^2*z^{-n} = -z D_z(\sum_{n=0} n^2 z^{-n}) = .. = -zD_z(-zD_z(-zD_z(\sum_{n=0}^\infty z^{-n})))$
facendo così ottengo
$(z^3 + 4z^2 + z)/(z-1)^4$
e antitrasformando col metodo delle divisioni successive, sembra tornare infatti il quoziente è
$z^{-1} + 2^3 z^{-2} + 3^3 z^{-3} + ... $
Approfitto di questo post,seppur vecchio,per risolvere un mio dubbio su questo esercizio:
Determinare la successione definita per ricorrenza dalla legge:
$\{(x(n+1)-x(n)=n^3),(x(0)=0):}$ per $n>=0$.
L'ho svolto nel modo seguente.Innanzitutto Z-trasformo ambo i membri:
$zX(z)-X(z)=-z*d/(dz) (z^(2)+z)/(z-1)^3$
$X(z)=(z(z^(2)+4z+1))/(z-1)^5$
Definisco $\bar{X}(z)=1/(z)*X(z)=(z^(2)+4z+1)/(z-1)^5$.
Scompongo in fratti semplici $\bar{X}(z)$:
$\bar{X}(z)=(A_5)/(z-1)^5+(A_4)/(z-1)^4+(A_3)/(z-1)^3+(A_2)/(z-1)^2+(A_1)/(z-1)$.
Considero che $X(z)=z*\bar{X}(z)$ ottenendo:
$X(z)=(6z)/(z-1)^5+(6z)/(z-1)^4+(z)/(z-1)^3$.
A questo punto dovrei antitrasformare $X(z)$ facendo uso delle trasformate notevoli.Per antitrasformare
$(6z)/(z-1)^5$,$(6z)/(z-1)^4$ e $(z)/(z-1)^3$ devo utilizzare questa questa qui:
$a^n((n),(h))$ $harr$ $(a^(h)z)/(z-a)^(h+1)$?
Grazie in anticipo!
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