Trasformata Zeta

[alessandro.996]

Salve ragazzi, ho qualche problema con questa successione definita per ricorrenza:

${ ( ((a_(n+3))(a_(n+1)))/((a_(n+2))a_n)=e ),(a_o=a_1=a_2=1 ):}$

Il problema è che non riesco a trasformare il primo membro, o meglio, non so come esplicitare la trasformata.
Grazie mille e buona giornata.

[gugo82]

Conviene passare ai logaritmi...

Infatti, prendendo i logaritmi di ambo i membri della ricorrenza trovi:
\[
\log a_{n+3} - \log a_{n+2} + \log a_{n+1} - \log a_n = 1
\]
e da ciò segue che conviene lavorare sulla successione incognita ausiliaria $b_n=\log a_n$, la quale rimane individuata dalla ricorrenza lineare:
\[
\begin{cases}
b_{n+3} - b_{n+2} + b_{n+1} - b_n = 1\\
b_0=b_1=b_2=0\; .
\end{cases}
\]

[alessandro.996]

Tutto chiaro ora.
Grazie mille, davvero!

[gugo82]

Volendo, puoi ragionare anche in maniera diversa, senza ricorrere subito ai logaritmi.

Usando la successione incognita ausiliaria:
\[
c_n := a_{n+2}a_n
\]
la ricorrenza assegnata ti fornisce:
\[
\begin{cases}
c_{n+1} = \mathbf{e}\ c_n\\
c_0 = 1
\end{cases}
\]
da cui ricavi immediatamente \(c_n=\mathbf{e}^n\), ossia:
\[
a_{n+2}\ a_n=\mathbf{e}^n\; ,
\]
cui puoi accoppiare le condizioni iniziali $a_0=a_1=1$ che hai da prima; in tal modo ti riconduci a:
\[
\begin{cases}
a_{n+2}\ a_n=\mathbf{e}^n\\
a_0=a_1=1
\end{cases}
\]
e applichi il trucco del logaritmo.