Trasformata zeta
ciao a tutti devo calcolare questa sommatoria:
$sum_(n = 0) ^(+oo) n z^(-2n)$
Ho pensato di fare un cambio di variabile $2n=m$ in modo tale che mi viene $1/2sum_(m = 0) ^(+oo) m z^(-m)=1/2sum_(m = 0) ^(+oo) m u(m) z^(-m)=1/2 (-z d/dz z/(z-1))$
dove sbaglio? il risultato non è corretto grazie!
$sum_(n = 0) ^(+oo) n z^(-2n)$
Ho pensato di fare un cambio di variabile $2n=m$ in modo tale che mi viene $1/2sum_(m = 0) ^(+oo) m z^(-m)=1/2sum_(m = 0) ^(+oo) m u(m) z^(-m)=1/2 (-z d/dz z/(z-1))$
dove sbaglio? il risultato non è corretto grazie!
Risposte
Occhio... Il cambiamento di indice nella sommatoria non serve.
Basta introdurre una variabile ausiliaria \(w=z^{-2}\) per beccare una serie arcinota, cioè \(\sum_{n=0}^\infty n\ w^n\)...
Basta introdurre una variabile ausiliaria \(w=z^{-2}\) per beccare una serie arcinota, cioè \(\sum_{n=0}^\infty n\ w^n\)...
"gugo82":
Occhio... Il cambiamento di indice nella sommatoria non serve.
Basta introdurre una variabile ausiliaria \(w=z^{-2}\) per beccare una serie arcinota, cioè \(\sum_{n=0}^\infty n\ w^n\)...
$(sum_{n=0}^infty n w^n)=$ $ w d/(dw) (sum_{n=0}^infty w^n)= w/(1-w^2)=z^2/(z^2-1)^2$ corretto?
Altra cosa: potevo svolgere la serie anche ponendo $w=z^2$ e applicare la proprietà di derivazione della zeta?
Cioè $ccZ[n x(n)]=-z d/dz (X(z))$ solo che in questo caso avendo cambiato variabile al posto di z ci metto w giusto?
Per curiosità ma c'è qualcosa che non va nel cambio indice?Cioè credo di aver fatto i passaggi correttamente ma non so perchè non mi trovo XD
Infine è sempre lecito introdurre una variabile ausiliaria all'interno delle serie? Grazie
Sì per la prima e la terza; "ni" per la seconda.
Infatti quando calcoli \(\sum_{n=0}^\infty n z^{-2n}\) la successione che stai trasformando è:
\[
x(m) = \begin{cases} \frac{m}{2} &\text{, se } m \text{ è pari}\\ 0 &\text{, se } m \text{ è dispari}\end{cases}
\]
quindi, per applicare la formula di derivazione, dovresti scrivere:
\[
x(m) = m\ \underbrace{\frac{(-1)^m +1}{4}}_{\color{maroon}{=: y(m)}}
\]
in modo da avere:
\[
\mathcal{Z}[x(m)] = \mathcal{Z} [m\ y(m)] = -z\ \frac{\text{d}}{\text{d} z} \mathcal{Z}[y(m)]
\]
e ti basterebbe calcolare la trasformata di \(y(m)\); d'altra parte, per linearità:
\[
\begin{split}
\mathcal{Z}[y(m)] &= \frac{1}{4}\ \mathcal{Z}[(-1)^m] + \frac{1}{4}\ \mathcal{Z}[1] \\
&= \frac{1}{4}\ \sum_{m=0}^\infty (-1)^m z^{-m} + \frac{1}{4}\ \sum_{m=0}^\infty z^{-m}\\
&= \frac{1}{4}\ \sum_{m=0}^\infty (-z)^{-m} + \frac{1}{4}\ \sum_{m=0}^\infty z^{-m}\\
&= \frac{1}{4}\ \frac{z}{z+1} + \frac{1}{4}\ \frac{z}{z-1}\\
&= \frac{z^2}{2(z^2-1)}
\end{split}
\]
quindi:
\[
\mathcal{Z}[x(m)] = -z\ \frac{\text{d}}{\text{d} z} \frac{z^2}{2(z^2-1)} = \frac{z^2}{(z^2-1)^2}\; ,
\]
come già correttamente trovato per altra via.
Infatti quando calcoli \(\sum_{n=0}^\infty n z^{-2n}\) la successione che stai trasformando è:
\[
x(m) = \begin{cases} \frac{m}{2} &\text{, se } m \text{ è pari}\\ 0 &\text{, se } m \text{ è dispari}\end{cases}
\]
quindi, per applicare la formula di derivazione, dovresti scrivere:
\[
x(m) = m\ \underbrace{\frac{(-1)^m +1}{4}}_{\color{maroon}{=: y(m)}}
\]
in modo da avere:
\[
\mathcal{Z}[x(m)] = \mathcal{Z} [m\ y(m)] = -z\ \frac{\text{d}}{\text{d} z} \mathcal{Z}[y(m)]
\]
e ti basterebbe calcolare la trasformata di \(y(m)\); d'altra parte, per linearità:
\[
\begin{split}
\mathcal{Z}[y(m)] &= \frac{1}{4}\ \mathcal{Z}[(-1)^m] + \frac{1}{4}\ \mathcal{Z}[1] \\
&= \frac{1}{4}\ \sum_{m=0}^\infty (-1)^m z^{-m} + \frac{1}{4}\ \sum_{m=0}^\infty z^{-m}\\
&= \frac{1}{4}\ \sum_{m=0}^\infty (-z)^{-m} + \frac{1}{4}\ \sum_{m=0}^\infty z^{-m}\\
&= \frac{1}{4}\ \frac{z}{z+1} + \frac{1}{4}\ \frac{z}{z-1}\\
&= \frac{z^2}{2(z^2-1)}
\end{split}
\]
quindi:
\[
\mathcal{Z}[x(m)] = -z\ \frac{\text{d}}{\text{d} z} \frac{z^2}{2(z^2-1)} = \frac{z^2}{(z^2-1)^2}\; ,
\]
come già correttamente trovato per altra via.
aspè ho modificato il post inserendo un'altra domanda.Intendi dire che è sbagliato apllicare la proprietà di derivazione?E quella successione da dove esce?0.0 Io ci avrei messo il gradino unitario e trasformato questo visto che la serie va da 0 a + inf
Occhio che gli esponenti di \(z\) nella serie sono importantissimi!
Insomma, calcolare:
\[
\sum_{n=0}^\infty n\ z^{-n}\qquad \text{e} \qquad \sum_{n=0}^\infty n\ z^{-2n}
\]
sono cose ben diverse.
Insomma, calcolare:
\[
\sum_{n=0}^\infty n\ z^{-n}\qquad \text{e} \qquad \sum_{n=0}^\infty n\ z^{-2n}
\]
sono cose ben diverse.
"gugo82":
Sì per la prima e la terza; "ni" per la seconda.
Infatti quando calcoli \(\sum_{n=0}^\infty n z^{-2n}\) la successione che stai trasformando è:
\[
x(m) = \begin{cases} \frac{m}{2} &\text{, se } m \text{ è pari}\\ 0 &\text{, se } m \text{ è dispari}\end{cases}
\]
quindi, per applicare la formula di derivazione, dovresti scrivere:
\[
x(m) = m\ \underbrace{\frac{(-1)^m +1}{4}}_{\color{maroon}{=: y(m)}}
\]
in modo da avere:
\[
\mathcal{Z}[x(m)] = \mathcal{Z} [m\ y(m)] = -z\ \frac{\text{d}}{\text{d} z} \mathcal{Z}[y(m)]
\]
e ti basterebbe calcolare la trasformata di \(y(m)\); d'altra parte, per linearità:
\[
\begin{split}
\mathcal{Z}[y(m)] &= \frac{1}{4}\ \mathcal{Z}[(-1)^m] + \frac{1}{4}\ \mathcal{Z}[1] \\
&= \frac{1}{4}\ \sum_{m=0}^\infty (-1)^m z^{-m} + \frac{1}{4}\ \sum_{m=0}^\infty z^{-m}\\
&= \frac{1}{4}\ \sum_{m=0}^\infty (-z)^{-m} + \frac{1}{4}\ \sum_{m=0}^\infty z^{-m}\\
&= \frac{1}{4}\ \frac{z}{z+1} + \frac{1}{4}\ \frac{z}{z-1}\\
&= \frac{z^2}{2(z^2-1)}
\end{split}
\]
quindi:
\[
\mathcal{Z}[x(m)] = -z\ \frac{\text{d}}{\text{d} z} \frac{z^2}{2(z^2-1)} = \frac{z^2}{(z^2-1)^2}\; ,
\]
come già correttamente trovato per altra via.
wow!!Sarà che sul discreto ho sempre avuto difficoltà ma anche se trovato per altre vie mi incuriosisce sapere come hai trovato questo:
"gugo82":
la successione che stai trasformando è:
\[
x(m) = \begin{cases} \frac{m}{2} &\text{, se } m \text{ è pari}\\ 0 &\text{, se } m \text{ è dispari}\end{cases}
\]
EDIT:Ho capito da dove escono i termini della successione
Scusa se ti faccio perdere tempo (alla fine ho fatto il conto)
Io comunque intendevo questo:
$sum_(n=0) ^oo n z^(-2n) =sum_(n=0) ^oo n w^(-n)=sum_(n=0) ^oo n u(n) w^(-n)=ccZ[n u(n)](w)=$
$-w d/(dw) w/(w-1)= w/((w-1)^2)=z^2/((z^2-1)^2) $
dove $w=z^2$ e $u(n)$ è il gradino unitario. Ho moltiplicato per il gradino visto che la serie va da 0 a +inf e quindi il risultato non cambia
"and1991":
Io comunque intendevo questo:
$sum_(n=0) ^oo n z^(-2n) =sum_(n=0) ^oo n w^(-n)=sum_(n=0) ^oo n u(n) w^(-n)=ccZ[n u(n)](w)=$
$-w d/(dw) w/(w-1)= w/((w-1)^2)=z^2/((z^2-1)^2) $
dove $w=z^2$ e $u(n)$ è il gradino unitario. Ho moltiplicato per il gradino visto che la serie va da 0 a +inf e quindi il risultato non cambia
Ah, qui sì... Ovviamente stai trasformando (rispetto alla variabile ausiliaria \( w=z^2\) però!) il gradino moltiplicato per \(n\); quindi usi la formula di derivazione rispetto a \(w\) in maniera lecitissima.
"gugo82":[/quote]
[quote="and1991"]Io comunque intendevo questo:
Ah, qui sì... Ovviamente stai trasformando (rispetto alla variabile ausiliaria \( w=z^{-1}\) però!) il gradino moltiplicato per \(n\); quindi usi la formula di derivazione rispetto a \(w\) in maniera lecitissima.
credo che tu voglia dire $w=z^2$ cmq si ci siamo capiti
grazie ancora
Sì, ovvio. Ora correggo.
Prego.
Prego.
"gugo82":
[quote="and1991"]Io comunque intendevo questo:
$sum_(n=0) ^oo n z^(-2n) =sum_(n=0) ^oo n w^(-n)=sum_(n=0) ^oo n u(n) w^(-n)=ccZ[n u(n)](w)=$
$-w d/(dw) w/(w-1)= w/((w-1)^2)=z^2/((z^2-1)^2) $
dove $w=z^2$ e $u(n)$ è il gradino unitario. Ho moltiplicato per il gradino visto che la serie va da 0 a +inf e quindi il risultato non cambia
Ah, qui sì... Ovviamente stai trasformando (rispetto alla variabile ausiliaria \( w=z^2\) però!) il gradino moltiplicato per \(n\); quindi usi la formula di derivazione rispetto a \(w\) in maniera lecitissima.
[/quote]
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