Trasformata Z di equazioni alle differenze
Buona sera, Forum 
Come da titolo, ho iniziato lo studio delle equazioni alle differenze e sono arrivato al primo scoglio, la Trasformata Z.
Al momento sono incagliato su un esercizio di cui non comprendo un passaggio; ho provato a ricostruirlo ma niente... Basta parole, ora: diamo spazio ai simboli!
L'equazione, che viene ricavata da un problema di elettrotecnica applicando le leggi di Kirchhoff, è la seguente:
\[
I_k R + (I_k - I_{k+1}) R - (I_{k-1} - I_k)R = V_k
\]
dove \(I_k\) è la successione incognita mentre \(V_k\) è nota.
A questo punto io sono passato all'azione: per prima cosa svolgo i conti e trovo
\[
I_{k+1} - 3I_k + I_{k-1} = \frac{V_k} R
\]
poi, dette \(i(z) := \mathcal{Z}\lbrace I_k \rbrace \) e \(v(z) := \mathcal{Z} \lbrace V_k \rbrace \), eseguo la Trasformata Z di entrambi i membri dell'equazione, arrivando a:
\[
z \cdot i(z) - 3i(z) + \frac{i(z)}{z} = \frac{v(z)}{R}
\]
cioè
\[
(z^2 - 3z + 1)\, i(z)= \frac{z}{R} v(z)
\]
Tuttavia il libro non è d'accordo con me, in quanto passa, direttamente dalla prima equazione che ho scritto, a
\[
(z^2 - 3z + 1)\, i(z)= I_1 z^2 + (I_2 - 3I_1)z + \frac{v(z)}{R}
\]
Premesso che non so dove sia il mio errore, ho anche notato che al passaggio dopo il libro fa
\[
T_k = \mathcal{Z}^{-1}\left\lbrace \frac{v(z)}{R(z^2 - 3z + 1)} \right\rbrace = \dots
\]
dove io penso che \(T_k\) sia in realtà la \(I_k\) che sto cercando, però non sono sicuro di niente...
Grazie a tutti per l'aiuto!
Come da titolo, ho iniziato lo studio delle equazioni alle differenze e sono arrivato al primo scoglio, la Trasformata Z.
Al momento sono incagliato su un esercizio di cui non comprendo un passaggio; ho provato a ricostruirlo ma niente... Basta parole, ora: diamo spazio ai simboli!
L'equazione, che viene ricavata da un problema di elettrotecnica applicando le leggi di Kirchhoff, è la seguente:
\[
I_k R + (I_k - I_{k+1}) R - (I_{k-1} - I_k)R = V_k
\]
dove \(I_k\) è la successione incognita mentre \(V_k\) è nota.
A questo punto io sono passato all'azione: per prima cosa svolgo i conti e trovo
\[
I_{k+1} - 3I_k + I_{k-1} = \frac{V_k} R
\]
poi, dette \(i(z) := \mathcal{Z}\lbrace I_k \rbrace \) e \(v(z) := \mathcal{Z} \lbrace V_k \rbrace \), eseguo la Trasformata Z di entrambi i membri dell'equazione, arrivando a:
\[
z \cdot i(z) - 3i(z) + \frac{i(z)}{z} = \frac{v(z)}{R}
\]
cioè
\[
(z^2 - 3z + 1)\, i(z)= \frac{z}{R} v(z)
\]
Tuttavia il libro non è d'accordo con me, in quanto passa, direttamente dalla prima equazione che ho scritto, a
\[
(z^2 - 3z + 1)\, i(z)= I_1 z^2 + (I_2 - 3I_1)z + \frac{v(z)}{R}
\]
Premesso che non so dove sia il mio errore, ho anche notato che al passaggio dopo il libro fa
\[
T_k = \mathcal{Z}^{-1}\left\lbrace \frac{v(z)}{R(z^2 - 3z + 1)} \right\rbrace = \dots
\]
dove io penso che \(T_k\) sia in realtà la \(I_k\) che sto cercando, però non sono sicuro di niente...
Grazie a tutti per l'aiuto!
Risposte
A occhio direi che ti sei dimenticato delle condizioni iniziali quando hai calcolato le trasformate delle traslate \(I_{k+1}\) ed \(I_{k-1}\).
Ok, ho fatto qualche miglioramento ma ancora non ci sono.
Le mie formule per le trasformate delle traslazioni sono
\[
\mathcal{Z} \lbrace \tau_n X \rbrace = z^{-n}x(z)
\]
\[
\mathcal{Z} \lbrace \tau_{-n} X \rbrace = z^{n}x(z) - z^nX_0 - z^{n-1}X_1 - \cdots - zX_{n-1}
\]
Da cui, siccome nel mio caso non esiste \(I_0\) ma il primo elemento della successione è \(I_1\),
\[
\mathcal{Z} \lbrace I_{k+1} \rbrace = zi(z) - zI_1
\]
\[
\mathcal{Z} \lbrace I_{k-1} \rbrace = \frac{i(z)}{z}
\]
Sostituendo ottengo
\[
zi(z) - zI_1 - 3i(z) + \frac{i(z)}{z} = \frac{v(z)}{R}
\]
che mi porta a
\[
(z^2 - 3z + 1)\, i(z) = I_1z^2 + \frac{zv(z)}{R}
\]
E questo, però, sistema solamente una parte del problema!
A questo punto mi viene da chiedermi se siano giuste le mie formule per le successioni traslate, o se non sia io che le sto applicando nel modo sbagliato!
Per fare il punto della situazione: nel mio risultato ho un termine \(\frac{zv(z)}{R}\) che invece nel risultato del libro è sostituito da \( (I_2 - 3I_1)z +\frac{v(z)}{R}\).
Le mie formule per le trasformate delle traslazioni sono
\[
\mathcal{Z} \lbrace \tau_n X \rbrace = z^{-n}x(z)
\]
\[
\mathcal{Z} \lbrace \tau_{-n} X \rbrace = z^{n}x(z) - z^nX_0 - z^{n-1}X_1 - \cdots - zX_{n-1}
\]
Da cui, siccome nel mio caso non esiste \(I_0\) ma il primo elemento della successione è \(I_1\),
\[
\mathcal{Z} \lbrace I_{k+1} \rbrace = zi(z) - zI_1
\]
\[
\mathcal{Z} \lbrace I_{k-1} \rbrace = \frac{i(z)}{z}
\]
Sostituendo ottengo
\[
zi(z) - zI_1 - 3i(z) + \frac{i(z)}{z} = \frac{v(z)}{R}
\]
che mi porta a
\[
(z^2 - 3z + 1)\, i(z) = I_1z^2 + \frac{zv(z)}{R}
\]
E questo, però, sistema solamente una parte del problema!
A questo punto mi viene da chiedermi se siano giuste le mie formule per le successioni traslate, o se non sia io che le sto applicando nel modo sbagliato!
Per fare il punto della situazione: nel mio risultato ho un termine \(\frac{zv(z)}{R}\) che invece nel risultato del libro è sostituito da \( (I_2 - 3I_1)z +\frac{v(z)}{R}\).
Scusa Raptorista, tanto per fare chiarezza, com'è definita la trasformata che usi?
Io sono abituato ad usarla su successioni o biliatere (di modo che \(\mathcal{Z}[u_n](z):=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} u_nz^{-n}\)) oppure unilatere con indice iniziale \(=0\) (sicché \(\mathcal{Z}[u_n](z):=\sum_{n=0}^{+\infty} u_nz^{-n}\)).
Io sono abituato ad usarla su successioni o biliatere (di modo che \(\mathcal{Z}[u_n](z):=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} u_nz^{-n}\)) oppure unilatere con indice iniziale \(=0\) (sicché \(\mathcal{Z}[u_n](z):=\sum_{n=0}^{+\infty} u_nz^{-n}\)).
Io ho visto solamente la seconda, quella che tu chiami "unilatera".
Update: mi sto avvicinando di molto!
Partendo da
\[
I_{k+1} - 3I_k + I_{k-1} = \frac{V_k}{R}
\]
eseguo una traslazione degli indici, arrivando così a
\[
I_{k+2} - 3I_{k+1} + I_k = \frac{V_{k+1}}{R}
\]
A questo punto trasformo ed ottengo
\[
z^2 i(z) - z^2 I_1 - zI_2 - 3 z i(z) + 3 z I_1 + i(z) = \frac{z v(z) - z V_1}{R}
\]
cioè
\[
(z^2 - 3z + 1) \,\, i(z) = z^2 I_1 + (I_2 - 3I_1) \,\, z + z \left( \frac{v(z)}{R} - I_1 \right)
\]
che è decisamente più vicino al mio target, ma ancora non ci siamo!
Che manca?
E perché con questa "traslazione degli indici" arrivo più vicino?
Partendo da
\[
I_{k+1} - 3I_k + I_{k-1} = \frac{V_k}{R}
\]
eseguo una traslazione degli indici, arrivando così a
\[
I_{k+2} - 3I_{k+1} + I_k = \frac{V_{k+1}}{R}
\]
A questo punto trasformo ed ottengo
\[
z^2 i(z) - z^2 I_1 - zI_2 - 3 z i(z) + 3 z I_1 + i(z) = \frac{z v(z) - z V_1}{R}
\]
cioè
\[
(z^2 - 3z + 1) \,\, i(z) = z^2 I_1 + (I_2 - 3I_1) \,\, z + z \left( \frac{v(z)}{R} - I_1 \right)
\]
che è decisamente più vicino al mio target, ma ancora non ci siamo!
Che manca?
E perché con questa "traslazione degli indici" arrivo più vicino?
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