Trasformata Z
Buonasera,
Stavo provando a risolvere un esercizio in cui veniva chiesto di calcolare la trasformata z di questa funzione
\(\displaystyle a(n)=2^{|n-3|} \)
Io ho provato a ragionare in questo modo
\(\displaystyle
\left\{\begin{matrix}
se & n>3 & 2^{n-3} \\
se & n<3 & 2^{3-n}
\end{matrix}\right. \)
Per ottenere la z-trasformata ho fatto
\(\displaystyle Z[a(n)\cdot u(n))]=Z_u[a(n)]=\sum_{n=0}^{3}2^{3-n}z^{-n} + \sum_{n=3}^{+\infty} 2^{n-3}z^{-n} \)
Ora la prima serie è una serie finita di termini per cui li ho sviluppati e la seconda serie l'ho ricondotta ad una serie di potenze... ho scritto
\(\displaystyle 8+\frac{4}{z}+\frac{2}{z^2}+\frac{1}{z^3}+\frac{z}{(z-2)8} \)
ottenendo
\(\displaystyle \frac{-16-24 z-48 z^2-96 z^3+65 z^4}{8 (-2+z) z^3} \)
Il problema è che non mi trovo con il risultato che mi da wolfram in quanto
\(\displaystyle \frac{8 z^3-12 z^2-6 z-3}{(z-2) z^2} \)
Vi ringrazio in anticipo per ogni aiuto!
Stavo provando a risolvere un esercizio in cui veniva chiesto di calcolare la trasformata z di questa funzione
\(\displaystyle a(n)=2^{|n-3|} \)
Io ho provato a ragionare in questo modo
\(\displaystyle
\left\{\begin{matrix}
se & n>3 & 2^{n-3} \\
se & n<3 & 2^{3-n}
\end{matrix}\right. \)
Per ottenere la z-trasformata ho fatto
\(\displaystyle Z[a(n)\cdot u(n))]=Z_u[a(n)]=\sum_{n=0}^{3}2^{3-n}z^{-n} + \sum_{n=3}^{+\infty} 2^{n-3}z^{-n} \)
Ora la prima serie è una serie finita di termini per cui li ho sviluppati e la seconda serie l'ho ricondotta ad una serie di potenze... ho scritto
\(\displaystyle 8+\frac{4}{z}+\frac{2}{z^2}+\frac{1}{z^3}+\frac{z}{(z-2)8} \)
ottenendo
\(\displaystyle \frac{-16-24 z-48 z^2-96 z^3+65 z^4}{8 (-2+z) z^3} \)
Il problema è che non mi trovo con il risultato che mi da wolfram in quanto
\(\displaystyle \frac{8 z^3-12 z^2-6 z-3}{(z-2) z^2} \)
Vi ringrazio in anticipo per ogni aiuto!
Risposte
Perchè il termine con $n=3$ lo conti 2 volte, credo....
Ciao grazie per la risposta...
Purtroppo non riesco a capire come risolvere il problema perchè anche se considero
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{2}2^{3-n}z^{-n} + \sum_{n=3}^{+\infty} 2^{n-3}z^{-n} \)
Il problema è che secondo me sbaglio proprio ad applicare il concetto di trasformata...
Purtroppo non riesco a capire come risolvere il problema perchè anche se considero
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{2}2^{3-n}z^{-n} + \sum_{n=3}^{+\infty} 2^{n-3}z^{-n} \)
Il problema è che secondo me sbaglio proprio ad applicare il concetto di trasformata...
Che input dai a MAthematica ?
Usi Mathematica o il sito Wolfram alpha ?
Usi Mathematica o il sito Wolfram alpha ?
Devi shiftare nel modo appropriato la sequenza che parte da n=3 e ha la forma $2^(n-3)u[n-3]$.
E' equivalente a $2^(n)u[n]$ shiftata di 3. Quindi dovresti scrivere la Z di $2^(n)u[n]$, poi shiftarla di 3 (con la sua regola già preconfezionata senza inventare nulla), quindi sommargli i 3 termini $8+4/z+2/z^2$.
A quel punto ti viene un'espressione uguale a Mathematica.
E' equivalente a $2^(n)u[n]$ shiftata di 3. Quindi dovresti scrivere la Z di $2^(n)u[n]$, poi shiftarla di 3 (con la sua regola già preconfezionata senza inventare nulla), quindi sommargli i 3 termini $8+4/z+2/z^2$.
A quel punto ti viene un'espressione uguale a Mathematica.
Io uso il sito wolfram alpha e come input gli do come input
Comunque penso di aver capito...grazie al tuo consiglio ho cercato di ragionare in modo da poter mantenere un filo con l'approccio che avevo adottato in precedenza.
In pratica ho capito che quando mi trovo una serie che non parte da zero la devo sempre shiftare e farla partire da zero altrimenti non posso ottenere la trasformata z giusto?
Perchè se shifto la serie in questo modo
\(\displaystyle
\sum_{n=3}^{+\infty} 2^{n-3}z^{-n} = \frac{1}{8}\sum_{n=3}^{+\infty}\left ( \frac{2}{z} \right )^n=\frac{1}{8}\sum_{n=0}^{+\infty}\left ( \frac{2}{z} \right )^{n-3}=\left (\frac{1}{8} \right )\left ( \frac{8}{z^2} \right ) \sum_{n=0}^{+\infty}\left ( \frac{2}{z} \right )^{n}=\frac{1}{z^2(z-2)} \)
e poi la sommo ai termini di prima mi trovo con il risultato
Penso che alla fine non ho fatto altro che scrivere ciò che mi hai detto tu
. solo che ho fatto tutta questa trafila perchè ad essere sincero su questo argomento sono proprio agli inizi e certi meccanismi non li riesco ancora ad afferrare
Z-Transform 2^|n-3|
Comunque penso di aver capito...grazie al tuo consiglio ho cercato di ragionare in modo da poter mantenere un filo con l'approccio che avevo adottato in precedenza.
In pratica ho capito che quando mi trovo una serie che non parte da zero la devo sempre shiftare e farla partire da zero altrimenti non posso ottenere la trasformata z giusto?
Perchè se shifto la serie in questo modo
\(\displaystyle
\sum_{n=3}^{+\infty} 2^{n-3}z^{-n} = \frac{1}{8}\sum_{n=3}^{+\infty}\left ( \frac{2}{z} \right )^n=\frac{1}{8}\sum_{n=0}^{+\infty}\left ( \frac{2}{z} \right )^{n-3}=\left (\frac{1}{8} \right )\left ( \frac{8}{z^2} \right ) \sum_{n=0}^{+\infty}\left ( \frac{2}{z} \right )^{n}=\frac{1}{z^2(z-2)} \)
e poi la sommo ai termini di prima mi trovo con il risultato
Penso che alla fine non ho fatto altro che scrivere ciò che mi hai detto tu
. solo che ho fatto tutta questa trafila perchè ad essere sincero su questo argomento sono proprio agli inizi e certi meccanismi non li riesco ancora ad afferrare
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