Trasformata, sviluppo in serie e spettro di Fourier
Ragazzi premetto che non ho mai studiato questi argomenti in nessuno dei miei corsi...però poichè devo tracciare lo spettro di Fourier per una certa funzione mi piacerebbe avere qualche concetto più chiaro indipendentemente da quella che può essere la semplice applicazione che serve a me.
Ho cercato di guardare qualcosa relativamente a tale argomento e per grosse linee ho capito di cosa si tratta però non riesco a capire come si mettono in relazione questi tre elementi: la trasformata, lo sviluppo in serie e lo spettro di Fourier.
Mi sapreste aiutare dandomi qualche semplice cenno? o magari facendomi qualche esempio?
Grazie mille.
Cordiali saluti.
Ho cercato di guardare qualcosa relativamente a tale argomento e per grosse linee ho capito di cosa si tratta però non riesco a capire come si mettono in relazione questi tre elementi: la trasformata, lo sviluppo in serie e lo spettro di Fourier.
Mi sapreste aiutare dandomi qualche semplice cenno? o magari facendomi qualche esempio?
Grazie mille.
Cordiali saluti.
Risposte
Nessuno mi riesce a spiegare la connessione che c'e' tra la trasformata e lo sviluppo in serie di Fourier?
Grazie.
Saluti a tutti.
Grazie.
Saluti a tutti.
La Trasformata e lo Sviluppo in Serie sono assolutamente connessi:
di fatto quanto tu trasformi, individui i coefficienti dello sviluppo in serie per la funzione che stai studiando.
In pratica l'Analisi di Fourier si basa sul fatto che sen() o cos() al variare, in modo continuo, della frequenza,
rappresentano una base completa sulla quale puoi rappresentare tutte le funzioni reali.
Come avrai visto in Geometria, "rappresentare su una base" significa individuare i coefficienti con i quali combinare linearmente la base per ottenere l'elemento desiderato.
L'operazione di "individuare i coefficienti" si traduce in una serie di proiezioni tra la funzione che stai studiando
e i vari vettori di base: tale proiezione fa uso del prodotto interno che restituisce uno scalare, ovvero un coefficiente dello sviluppo.
Per quanto riguarda Analisi di Fourier ti trovi in uno Spazio di Funzioni e quindi infinito-dimensionale,
in cui hai una f(x) che stai studiando e una base di infiniti elementi, ovvero sen() e cos(), sopra la quale vuoi rappresentare la funzione in questione.
Integrale di Fourier altro non è che il prodotto interno tra la funzione in oggetto e ogni elemento della Base di Fourier (individuato da una frequenza diversa, e variando la frequenza con continuità su asse reale noti che ci sono infiniti elementi in questa base) che restituisce uno scalare che è il coefficiente dello sviluppo relativo a quella frequenza.
Si capisce ?
di fatto quanto tu trasformi, individui i coefficienti dello sviluppo in serie per la funzione che stai studiando.
In pratica l'Analisi di Fourier si basa sul fatto che sen() o cos() al variare, in modo continuo, della frequenza,
rappresentano una base completa sulla quale puoi rappresentare tutte le funzioni reali.
Come avrai visto in Geometria, "rappresentare su una base" significa individuare i coefficienti con i quali combinare linearmente la base per ottenere l'elemento desiderato.
L'operazione di "individuare i coefficienti" si traduce in una serie di proiezioni tra la funzione che stai studiando
e i vari vettori di base: tale proiezione fa uso del prodotto interno che restituisce uno scalare, ovvero un coefficiente dello sviluppo.
Per quanto riguarda Analisi di Fourier ti trovi in uno Spazio di Funzioni e quindi infinito-dimensionale,
in cui hai una f(x) che stai studiando e una base di infiniti elementi, ovvero sen() e cos(), sopra la quale vuoi rappresentare la funzione in questione.
Integrale di Fourier altro non è che il prodotto interno tra la funzione in oggetto e ogni elemento della Base di Fourier (individuato da una frequenza diversa, e variando la frequenza con continuità su asse reale noti che ci sono infiniti elementi in questa base) che restituisce uno scalare che è il coefficiente dello sviluppo relativo a quella frequenza.
Si capisce ?
Grazie mille per la risposta!
Si credo di aver capito: in pratica la trasformata di Fourier defnita dalla seguente espressione:
$\int_{-\infty}^{+\infty} g(t) e^{-i 2 \pi f t} dt$
se calcolata per per una certa frequenza $f$ restituisce il coefficiente relativo all'armonica di frequenza $f$ presente nello svullupo in serie di Fourier. Quindi se calcolo le trasformate per le diverse $f$ otterrò "tutti" i coefficienti dello svullpo in serie e quindi potrò esplicitare tale sviluppo in serie e quindi rappresentare nel dominio delle frequenze la funzione di origine (che per corenza con la scrittura della trasformata è $g(t)$), dico bene?
Grazie.
Si credo di aver capito: in pratica la trasformata di Fourier defnita dalla seguente espressione:
$\int_{-\infty}^{+\infty} g(t) e^{-i 2 \pi f t} dt$
se calcolata per per una certa frequenza $f$ restituisce il coefficiente relativo all'armonica di frequenza $f$ presente nello svullupo in serie di Fourier. Quindi se calcolo le trasformate per le diverse $f$ otterrò "tutti" i coefficienti dello svullpo in serie e quindi potrò esplicitare tale sviluppo in serie e quindi rappresentare nel dominio delle frequenze la funzione di origine (che per corenza con la scrittura della trasformata è $g(t)$), dico bene?
Grazie.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo