Trasformata Laplace di una funzione periodica

[Gost91]

Salve a tutti!

Non riesco a dimostrare che:
\[ \mathcal{L}[f(t)]=\frac{\mathcal{L}[f_1(t)]}{1-\exp(-sT)}\]

dove:

-\(\mathcal{L}\) è l'operatore "trasformata di Laplace"
-\(f(t)\) è una funzione periodica di periodo \(T\)
-\(f_1(t)\) è la precedente funzione ristretta nel primo periodo\([0,T]\) (spero di essermi spiegato...)

Per dimostrare la precedente formula parto osservando che:
\[\tag{1} f(t)=\sum_{n=0}^{\infty}f_1(t)[u(t-nT)-u(t-(n+1)T)]\]

con \(u\) funzione gradino di Heaviside, definita come:

\[u(t):=
\begin{cases}

1 \quad \text{se} \quad t \geq0 \\

0 \quad \text{altrimenti}
\end{cases}\]

In parole povere, quello che intendevo fare era dire che \(f(t)\) può essere vista come \(f_1(t)\) "ripetuta" infinite volte periodicamente.
Quindi se la \((1)\) va bene (e non ne sono proprio sicuro...) ho:

\[\begin{split}
\mathcal{L}[f(t)] &= \mathcal{L}\left [\sum_{n=0}^{\infty}f_1(t)[u(t-nT)-u(t-(n+1)T)] \right] \\
&= \mathcal{L}[f_1(t)]\mathcal{L}\left [\sum_{n=0}^{\infty}[u(t-nT)-u(t-(n+1)T)] \right] \\
&= \mathcal{L}[f_1(t)]\left [\sum_{n=0}^{\infty}\mathcal{L}[u(t-nT)]-\mathcal{L}[u(t-(n+1)T)] \right] \\
&= \frac{\mathcal{L}[f_1(t)]}{s}\left [\sum_{n=0}^{\infty}\exp(-nsT)-\exp(-(n+1)sT) \right] \\

\end{split}\]

Ora la serie dovrebbe essere telescopica quindi, se la memoria mi assiste, dovrei avere la possibilità di poter affermare che:

\[\sum_{n=0}^{\infty}\exp(-nsT)-\exp(-(n+1)sT)=1-\lim_{n\rightarrow\infty}\exp(-nsT)=1 \]

Da ciò arrivo a concludere erroneamente che:

\[\mathcal{L}[f(t)]=\frac{\mathcal{L}[f_1(t)]}{s}\]

Come sempre ringrazio in anticipo tutti per il sostegno fornito.

[gugo82]

In maniera più semplice, hai:
\[
\begin{split}
\mathcal{L}[f](s) &= \int_{0}^\infty f(t)\ e^{-st}\ \text{d} t \\
&= \sum_{n=0}^\infty \int_{nT}^{(n+1)T} f(t)\ e^{-st}\ \text{d} t\\
&\stackrel{\tau =t-nT}{=} \sum_{n=0}^\infty \int_0^T f(\tau +nT)\ e^{-s(\tau +nT)}\ \text{d} \tau\\
&= \sum_{n=0}^\infty \left( \int_0^T f(\tau)\ e^{-s\tau}\ \text{d} \tau\right)\ e^{-snT}\\
&= \left( \int_0^T f(t)\ e^{-st}\ \text{d} t\right) \ \sum_{n=0}^\infty \left( e^{-sT} \right)^n
\end{split}
\]
(la periodicità di \(f\) è usata per passare dal 4° al 5° membro) e da qui concludi facile.

[Gost91]

Grazieee mille!!!