Trasformata laplace

[tommyr22-votailprof]

salve a tutti,

ho un semplice problema che non riesco a risolvere.
1)ho la seguente funzione: $u(t-1)e^-t)$
non riesco a calcolarmi la trasformata di laplace che tramite wolfram è $(e^(-s-1))/(s+1)

in pratica io ho un gradino traslato di 1, quindi per t>1 sarà 1 che moltiplica un'esponenziale se non sbaglio,inoltre il prodotto nel dominio del tempo è una convoluzione nel dominio della frequenza quindi devo applicare la convoluzione?

2)mi si chiede pure di rovarmi la trasformata di laplace della derivata seconda della delta di dirac, come me la trovo sapendo che la trasformata della delta è 1?

grazie

[gugo82]

C'è un trucchetto semplicissimo che puoi usare.

Innagino che tu sappia che una traslazione nel tempo si trasformi in una moltiplicazione per un esponenziale, quindi vorresti applicare questa regola... Tuttavia, la forma della funzione trasformanda non lo consente immediatamente (poiché essa non sembra essere la traslata di qualcosa).
Nota, però, che:
\[
\operatorname{u}(t-1)\ e^{-t} = \operatorname{u}(t-1)\ e^{1-t-1} = \frac{1}{e}\ \operatorname{u}(t-1)\ e^{-(t-1)}
\]
dunque, per linearità:
\[
\mathcal{L}[\operatorname{u}(t-1)e^{-t}](s) = \frac{1}{e}\ \mathcal{L}[\operatorname{u}(t-1)e^{-(t-1)}](s)
\]
ed adesso puoi applicare la proprietà di traslazione.

[tommyr22-votailprof]

ahh grazie ora ho capito!

anche la seconda sono riuscito a capirla tramite le distribuzioni che non avevo ancora letto