Trasformata Gradino (per Hilbert)

[Ahi1]

Ciao a tutti!
Vorrei capire se ho capito lo svolgimento della trasformata (di fourier) gradino:

Il gradino lo si può scrivere così, tramite la funzione segno:

$u(t)=c(t) + (1/2)sign(t)$ dove le relative trasformate saranno:

$F[c(t)]=pi*delta(omega)$ infatti: $c(t)=1/(2pi) int_{-oo}^{+oo} pi*delta(omega) domega = 1/2$ servendosi della proprietà di localizzazione della delta di dirac.

La trasformata di Fourier di $(1/2)sign(t)$ è $1/(jomega)$ di per se non ha una trasformata di Fourier, non è nè integrabile nè di quadrato integrabile, ma può essere vista come caso limite della funzione:

$-1/2*e^(at)$ se $t<0$
$1/2*e^(-at)$ se $t>0$

quando $a->0$ ritroviamo la funzione $(1/2)sign(t)$

dunque valutiamo la trasformata di $(-1/2)*e^(at)$

$(-1/2) int_{-oo}^{0} e^(at)e^(-jomegat)dt=1/2*(1/jomega)$

ora valutiamo anche la trasformata di $(1/2)*e^(-at)$

$(1/2) int_{0}^{+oo} e^(-at)e^(-jomegat)dt=1/2*(1/(jomega))$ per $a->0$

dunque sommando le due relazioni ottenute si ricava $1/(jomega)$

Pertanto la trasformata del gradino è $u(omega)=pi*delta(omega)+1/(jomega)$

ora però mi perdo, o meglio finora la dimostrazione l'ho realizzata più o meno io solo che non so se è corretta.

La trasformata che ho ottenuto la devo riscrivere $u(omega)=pi*delta(omega)+P/(jomega)$ dove $P$ rappresenta il valore principale di Cauchy, è corretto questo passaggio finale? Il mio scopo è arrivare alle trasformate di Hilbert (Krames-koening), perché introduco questo valore principale? E come lo devo introdurre?

[ViciousGoblin]

Il fatto è che già nei passaggi precedenti, quando trasformi la funzione segno, dovresti mettere la parte principale di $1/\omega$.

Il motivo è che la funzione $1/\omega$ in realtà non è una funzione (!!!), nel senso delle distribuzioni(perché non è localmente integrabile).
Ci sono infinite distribuzioni $u(\omega)$
tali che $\omega u(\omega)=1$ e differiscono tutte per un multiplo di $\delta$. Tra queste possiamo selezionarne una, indichiamola con
$u_0$, detta il valore principale di $1/\omega$, che si può definire per esempio come la derivata di $\ln(|\omega|)$ oppure, come si fa più comunemente, definendo
$ < u_0,\phi > = \lim_{\epsilon\to0}(\int_{-\infty}^{-\epsilon}\frac{\phi(t)}{t} dt+\int_{\epsilon}^{+\infty}\frac{\phi(t)}{t}dt)$
per ogni test $\phi$ (dopo aver dimostrato che tale formula definisce effettivamente una distribuzione).

EDIT

Per inciso, per trovare la trasformata del segno (da cui quella del gradino segue immediatamente) puoi ragionare anche così.
Chiamiamo $u(t)="sgn"(t)$, allora è chiaro che $u'=2\delta$ e quindi $F(u')=2$. Per le proprietà della trasformata si ha
$2=F(u')(\omega)=i\omega F(u)(\omega)$. Quindi $F(u)$ è una distribuzione che moltiplicata per $\omega$ dà $2/i=-2i$.
Se si dà per buono quanto ho scritto sopra risulta $F(u)(\omega)=c\delta(\omega) - 2i u_o(\omega)$, per una qualche costante $c$.
Dato però che il segno è una funzione dispari la sua trasformata deve risultare dispari e per questo è necessario che $c=0$
(se si è predimostrato che $u_0$ è dispari).

[Kroldar]

"Ahi":
perché introduco questo valore principale?

Facciamo una premessa: il gradino non è una funzione sommabile, dunque non è Fourier-trasformabile in senso stretto (né si tratta di una funzione quadrato-sommabile, per cui non si può far ricorso all'estensione della trasformazione di Fourier in $L^2$). Pertanto solo in ambito distribuzionale ha senso calcolare la trasformata di Fourier del gradino.

Ora, se non ci fosse quel valor principale e si considerasse soltanto $1/t$, non sarebbe possibile definire una distribuzione.
Infatti, sia $phi$ una generica funzione test, la distribuzione
$langle v.p. 1/t, phi rangle = v.p. int_(-oo)^(+oo) (phi(t))/t dt$
ha effettivamente senso, dato che l'integrale a secondo membro esiste per ogni $phi in ccD$ (lo si può dimostrare sulla base del fatto che le funzioni test sono derivabili).
Se proviamo invece a togliere il valor principale, l'integrale
$int_(-oo)^(+oo) (phi(t))/t dt$
in generale non esiste.

[Ahi1]

"ViciousGoblinEnters":
Il fatto è che già nei passaggi precedenti, quando trasformi la funzione segno, dovresti mettere la parte principale di $1/\omega$.

Dunque riprendendo da dove avevo dubbi devo inserire il valore principale così

La trasformata di Fourier di $(1/2)sign(t)$ è $1/(jomega)$ di per se non ha una trasformata di Fourier, non è nè integrabile nè di quadrato integrabile, ma può essere vista come caso limite della funzione:

$-1/2*e^(at)$ se $t<0$
$1/2*e^(-at)$ se $t>0$

quando $a->0$ ritroviamo la funzione $(1/2)sign(t)$

dunque valutiamo la trasformata di $(-1/2)*e^(at)$

$(-1/2) v.p. int_{-oo}^{0} e^(at)e^(-jomegat)dt=(v.p)/2*(1/jomega)$

ora valutiamo anche la trasformata di $(1/2)*e^(-at)$

$(1/2) v.p. int_{0}^{+oo} e^(-at)e^(-jomegat)dt=(v.p)/2*(1/(jomega))$ per $a->0$

dunque sommando le due relazioni ottenute si ricava $(v.p.)/(jomega)$

Pertanto la trasformata del gradino è $u(omega)=pi*delta(omega)+(v.p.)/(jomega)$

"ViciousGoblinEnters":
$ < u_0,\phi > = \lim_{\epsilon\to0}(\int_{-\infty}^{-\epsilon}\frac{\phi(t)}{t} dt+\int_{\epsilon}^{+\infty}\frac{\phi(t)}{t}dt)$
per ogni test $\phi$ (dopo aver dimostrato che tale formula definisce effettivamente una distribuzione).

Questa relazione $(v.p.)/(jomega)$ non è una distribuzione né a quadrato integrabile, però diventa un oggetto convergente se applico:

$(v.p.) int_{-oo}^{+oo} 1/(jomega) f(omega) domega$

quindi quest'integrale di Cauchy mi permette di far convergere quegli integrali impropi e indeterminati. Così dovrebbe andare?

[Ahi1]

"Kroldar":[quote="Ahi"]
perché introduco questo valore principale?

$langle v.p. 1/t, phi rangle = v.p. int_(-oo)^(+oo) (phi(t))/t dt$
[/quote]

Non riesco a capire cosa sta scritto nella prima parte

[Kroldar]

"Ahi":[quote="Kroldar"][quote="Ahi"]
perché introduco questo valore principale?

$langle v.p. 1/t, phi rangle = v.p. int_(-oo)^(+oo) (phi(t))/t dt$
[/quote]

Non riesco a capire cosa sta scritto nella prima parte[/quote]

E' una notazione molto diffusa per indicare le distribuzioni. Il simbolo $langle .,. rangle$ è detto crochet.
La scrittura $langle T,phi rangle$ indica la distribuzione $T$ che opera sulla funzione test $phi$.
Spesso le distribuzioni, per questioni di semplicità, sono indicate con l'abituale notazione propria delle funzioni ordinarie, ma in realtà si tratta di un abuso di notazione.

[Ahi1]

"Kroldar":[quote="Ahi"][quote="Kroldar"][quote="Ahi"]
perché introduco questo valore principale?

$langle v.p. 1/t, phi rangle = v.p. int_(-oo)^(+oo) (phi(t))/t dt$
[/quote]

Non riesco a capire cosa sta scritto nella prima parte[/quote]

E' una notazione molto diffusa per indicare le distribuzioni. Il simbolo $langle .,. rangle$ è detto crochet.
La scrittura $langle T,phi rangle$ indica la distribuzione $T$ che opera sulla funzione test $phi$.
Spesso le distribuzioni, per questioni di semplicità, sono indicate con l'abituale notazione propria delle funzioni ordinarie, ma in realtà si tratta di un abuso di notazione.[/quote]


MMM ma deve comparire proprio scritto langle T?? Non basta scrivere su $$?

[Kroldar]

"Ahi":MMM ma deve comparire proprio scritto langle T?? Non basta scrivere su $$?

Ah ecco forse non riesci a visualizzare correttamente $langle$ e $rangle$. Cmq sì, langle e rangle sono simili a $<$ e $>$, ma si adattano meglio a ciò che deve essere scritto al loro interno.

[Ahi1]

"Ahi":[quote="ViciousGoblinEnters"]
Il fatto è che già nei passaggi precedenti, quando trasformi la funzione segno, dovresti mettere la parte principale di $1/\omega$.

Dunque riprendendo da dove avevo dubbi devo inserire il valore principale così

La trasformata di Fourier di $(1/2)sign(t)$ è $1/(jomega)$ di per se non ha una trasformata di Fourier, non è nè integrabile nè di quadrato integrabile, ma può essere vista come caso limite della funzione:

$-1/2*e^(at)$ se $t<0$
$1/2*e^(-at)$ se $t>0$

quando $a->0$ ritroviamo la funzione $(1/2)sign(t)$

dunque valutiamo la trasformata di $(-1/2)*e^(at)$

$(-1/2) v.p. int_{-oo}^{0} e^(at)e^(-jomegat)dt=(v.p)/2*(1/(jomega))$

ora valutiamo anche la trasformata di $(1/2)*e^(-at)$

$(1/2) v.p. int_{0}^{+oo} e^(-at)e^(-jomegat)dt=(v.p)/2*(1/(jomega))$ per $a->0$

dunque sommando le due relazioni ottenute si ricava $(v.p.)/(jomega)$

Pertanto la trasformata del gradino è $u(omega)=pi*delta(omega)+(v.p.)/(jomega)$

"ViciousGoblinEnters":
$ < u_0,\phi > = \lim_{\epsilon\to0}(\int_{-\infty}^{-\epsilon}\frac{\phi(t)}{t} dt+\int_{\epsilon}^{+\infty}\frac{\phi(t)}{t}dt)$
per ogni test $\phi$ (dopo aver dimostrato che tale formula definisce effettivamente una distribuzione).

Questa relazione $(v.p.)/(jomega)$ non è una distribuzione né a quadrato integrabile, però diventa un oggetto convergente se applico:

$(v.p.) int_{-oo}^{+oo} 1/(jomega) f(omega) domega$

quindi quest'integrale di Cauchy mi permette di far convergere quegli integrali impropi e indeterminati. Così dovrebbe andare?[/quote]

Mi è venuto un dubbio ma il valor principale non serve (anche) in caso di discontinuità in punto?