Trasformata fourier(e antitrasformata)

[alee10x]

Buongiorno a tutti, ho chiaramente un problema con lo sviluppo di Fourier;non riesco a capire come antitrasformare questa X(f) in x(t):

$ X(f)=A*Rect(f/B+1)*e^(jpif/(2B)) $

Per cortesia, aiutatemi a capire come il risultato sia: $ x(t)=A*sin(pi*B*(t+1/(4B)))/(pi*(t+1/(4B))) *e^(-jpiB(t+1/(4B))) $

PS:non si legge bene una parte nell'esponente dell'esponenziale;in X(f) è f/2B, mentre in x(t) è 1/4B

Provando a svolgere il classico integrale(per antitrasformare), x(t) mi viene tutta eccetto l'esponenziale...che non riesco a far tornare, da dove esce?

inoltre, analizzando un altro esempio:

$ x(t)=sin(pi*B(t-tau))/(pi*(t-tau))*cos(2pift) $

per trasformarla in X(f) sfrutto l'integrale apposito, ma il dominio dell'integrale come lo trovo?qual'è in questo caso?

[Quinzio]

Cambio leggermente l'espressione:

$X(f)=A"Rect"((f+B)/B)e^(i\pif / (2B))$

Partiamo da $Rect(f/B)$ la cui antitrasformata è $sin(\piBt)/(\pi t)$

la frequenza $f$ è shiftata di un $f_0=-B$, applicando le proprietà:

$F(e^(2\pi i f_0 t ) g(t))(f)=F(g(t))(f-f_0)$

antitrasformiamo $"Rect"((f+B)/B)$
ottenendo

$sin(\piBt)/(\pi t) e^(2\pi i (-B)t )$

infine applichiamo la proprietà duale, cioè la moltiplicazione per un esponenziale complesso diventa uno shift temporale:

$F( g(t-t_0))(f)=e^(-2\pi i f t_0 ) F(g(t))(f)$

L'esponenziale complesso è $e^(i\pif / (2B))=e^(-2\pi i f t_0 )$

da cui $t_0=-1/(4B)$

quindi andiamo a rimpiazzare tutte le $t$ con $t+1/4B$

ottenendo finalmente

$sin(\piB(t+1/4B))/(\pi (t+1/4B)) e^(-2\pi i B(t+1/4B) )$

Rispetto alla tua soluzione c'è un coefficiente 2 "di troppo".
Non saprei, forse è un errore mio...

[alee10x]

Grazie mille, sembra tutto chiarissimo; per quanto riguarda la seconda parte della richiesta?(la parte sulla trasformata di x(t))potresti provare a darmi qualche spunto anche li?sarebbe fantastico capire come si trova la soluzione finale, mi daresti una mano enorme!per quanto riguarda il dominio, penso di aver capito.

[Quinzio]

"alee10x":
inoltre, analizzando un altro esempio:

$ x(t)=sin(pi*B(t-tau))/(pi*(t-tau))*cos(2pift) $

per trasformarla in X(f) sfrutto l'integrale apposito, ma il dominio dell'integrale come lo trovo?qual'è in questo caso?

Partiamo dalla funzione porta

$F(\sin(\pi B t)/ (\pi t))(\nu) = p_B(\nu)$

applichiamo uno shift temporale che diventa una moltiplicazione della trasformata per un esponenziale complesso:

$F(\sin(\pi B (t-\tau))/ (\pi (t-\tau)))(\nu) = e^(-2\pi i \nu \tau)p_B(\nu)$


moltiplichiamo per
$cos(2\pi f_0 t) = (Exp(2\pi i f_0 t)+Exp(-2\pi i f_0 t))/(2)$
che diventa uno shift in frequenza

$F(\sin(\pi B (t-\tau))/ (\pi (t-\tau))(Exp(2\pi i f_0 t)+Exp(-2\pi i f_0 t))/(2))(\nu) = 1/2{e^(-2\pi i (\nu-\nu_0) \tau)p_B(\nu-\nu_0)+e^(-2\pi i (\nu+\nu_0) \tau)p_B(\nu+\nu_0)}$

[alee10x]

Grazie mille! tutto chiarissimo