Trasformata Fourier distribuzione temperata
Salve, non riesco a svolgere questo esercizio
Facendo uso della trasformazione di Fourier, risolvere l'equazione:
$ T'' - T = \delta'' $
$ T \in S' $
essendo $\delta$ la distribuzione di Dirac.
Il primo membro diventa
$ (-2\piiy)^2F(T) - F(T) = \delta'' $ si mette in evidenza F(T) in modo da lasciarlo solo al primo membro per calcolare la trasformata di fourier(io la faccio col metodo dei residui). Il problema che mi blocca è il $ \delta'' $, se era solo $ \delta $ so che la trasformata è uguale a 1 e veniva
$ F(T) = 1/((-2\piiy)^2-1)) $
ma $ \delta'' $ cosa diventa ?!
Un aiuto per favore, grazie in anticipo.
[xdom="dissonance"]Corretto la formula \(T \in S'\) (era \(T \epsilon S'\). Il simbolo \(\in\) si ottiene con \in.[/xdom]
Facendo uso della trasformazione di Fourier, risolvere l'equazione:
$ T'' - T = \delta'' $
$ T \in S' $
essendo $\delta$ la distribuzione di Dirac.
Il primo membro diventa
$ (-2\piiy)^2F(T) - F(T) = \delta'' $ si mette in evidenza F(T) in modo da lasciarlo solo al primo membro per calcolare la trasformata di fourier(io la faccio col metodo dei residui). Il problema che mi blocca è il $ \delta'' $, se era solo $ \delta $ so che la trasformata è uguale a 1 e veniva
$ F(T) = 1/((-2\piiy)^2-1)) $
ma $ \delta'' $ cosa diventa ?!
Un aiuto per favore, grazie in anticipo.
[xdom="dissonance"]Corretto la formula \(T \in S'\) (era \(T \epsilon S'\). Il simbolo \(\in\) si ottiene con \in.[/xdom]
Risposte
Insomma il problema è calcolare la trasformata di Fourier di \(\delta ''\). Beh ma non è difficile. Ti devi ricordare che la trasformata di Fourier mappa derivate in prodotti per polinomi. Se non sei un matematico scrivi così:
\[\mathscr{F}[\delta''](\xi)=\int_{-\infty}^\infty dx \delta''(x)e^{-i x \xi}\]
e poi scarica le derivate dalla \(\delta\) sull'esponenziale integrando per parti due volte.
Se sei un matematico, fatti i conti così su un foglietto ma poi distruggilo accuratamente (
). In quello che stai scrivendo presenta solo il risultato.
\[\mathscr{F}[\delta''](\xi)=\int_{-\infty}^\infty dx \delta''(x)e^{-i x \xi}\]
e poi scarica le derivate dalla \(\delta\) sull'esponenziale integrando per parti due volte.
Se sei un matematico, fatti i conti così su un foglietto ma poi distruggilo accuratamente (
). In quello che stai scrivendo presenta solo il risultato.
Ehm.. ti dispiacerebbe fammi i primi passaggi perché non credo di aver capito come calcolarlo. Mi serve per un esercizio di Analisi 3.
"dissonance":
Se non sei un matematico scrivi così:
\[\mathscr{F}[\delta''](\xi)=\int_{-\infty}^\infty dx \delta''(x)e^{-i x \xi}\]
e poi scarica le derivate dalla \(\delta\) sull'esponenziale integrando per parti due volte.
Se sei un matematico, fatti i conti così su un foglietto ma poi distruggilo accuratamente (
Ti calcolo la derivata prima, poi la derivata seconda la fai tu.
\[\int_{-\infty}^\infty dx \delta'(x)e^{-ix \xi}=[\delta(x)e^{-ix \xi}]_{-\infty}^\infty - \int_{-\infty}^\infty dx \delta(x)\left( -i \xi e^{-i x \xi}\right)=i\xi \int_{-\infty}^\infty dx\delta(x)e^{-ix\xi}=i\xi.\]
Chiaro? Ricordati che \(\delta\), nelle intenzioni di suo padre Paul Dirac, è una "funzione" che vale \(0\) dappertutto tranne che in \(0\), dove vale \(+\infty\) ed ha la proprietà che
\[\int_{-\infty}^\infty dx \delta(x)f(x)=f(0)\]
per ogni funzione continua \(f\).
@Paolo:
\[\int_{-\infty}^\infty dx \delta'(x)e^{-ix \xi}=[\delta(x)e^{-ix \xi}]_{-\infty}^\infty - \int_{-\infty}^\infty dx \delta(x)\left( -i \xi e^{-i x \xi}\right)=i\xi \int_{-\infty}^\infty dx\delta(x)e^{-ix\xi}=i\xi.\]
Chiaro? Ricordati che \(\delta\), nelle intenzioni di suo padre Paul Dirac, è una "funzione" che vale \(0\) dappertutto tranne che in \(0\), dove vale \(+\infty\) ed ha la proprietà che
\[\int_{-\infty}^\infty dx \delta(x)f(x)=f(0)\]
per ogni funzione continua \(f\).
@Paolo:
"dissonance":
Chiaro? Ricordati che \(\delta\), nelle intenzioni di suo padre Paul Dirac, è una "funzione" che vale \(0\) dappertutto tranne che in \(0\), dove vale \(+\infty\) ed ha la proprietà che....
Mi sta venendo l'orticariaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!!!!!!!!!!!!!
Grazie per la pazienza intanto, ho svolto i passaggi e viene
$ int_(-oo )^(oo ) \delta''e^(-2\piyix) dx = (2\piyi)^2int_(-oo )^(oo ) \deltae^(-2\piyix) dx = -4\pi^2y^2 $
ok ?
se è giusto allora in generale viene
$ F[\delta^n] = (2\piyi)^nint_(-oo )^(oo ) \deltae^(-2\piyix) dx $
$ int_(-oo )^(oo ) \delta''e^(-2\piyix) dx = (2\piyi)^2int_(-oo )^(oo ) \deltae^(-2\piyix) dx = -4\pi^2y^2 $
ok ?
se è giusto allora in generale viene
$ F[\delta^n] = (2\piyi)^nint_(-oo )^(oo ) \deltae^(-2\piyix) dx $
E' giusto. Scrivi un po' meglio il secondo rigo, però. Non è \(\delta^{(n)}\) ad essere uguale a quell'integrale lì ma la sua trasformata di Fourier:
\[\mathscr{F}[\delta^{(n)}](y)=(2\pi y i )^n.\]
Comunque, ci siamo capiti.
\[\mathscr{F}[\delta^{(n)}](y)=(2\pi y i )^n.\]
Comunque, ci siamo capiti.
Si scusa è la fretta di scrivere 
Grazie per l'aiuto
Grazie per l'aiuto
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo