Trasformata Fourier
Ciao...dovrei calcolare la trasformata di Fourier di $e^-abs(t)$, purtroppo però il mio risultato non coincide con quello del libro 
Qualcuno potrebbe scrivermi tutti i passaggi? Grazie
Qualcuno potrebbe scrivermi tutti i passaggi? Grazie
Risposte
Ti consiglio di postare il procedimento
ciao Mate947
Posso provare a postare il mio risultato sperando di risolverti dei dubbi e di non sbagliare calcoli
Ti consiglierei per il futuro come già ha fatto dan95 di postare un tentativo di risoluzione in modo da poterti aiutare individuando l'errore e non svolgendo l'esercizio al posto tuo
Io farei così
$F(e^(-|t|)) = int_(-infty)^(+infty) e^(-i omega t) e^ (-|t|) dt =$
$= int_(-infty)^(+infty) e^-(i omega t + |t|)=$
$=int_(-infty)^0 e^(-i omega t +t) dt + int_0^(+infty) e^(-i omega t -t ) dt =$
ti è chiaro perchè ho diviso in due integrali?
$=1/(1-i omega) [e^(t(1-i omega))]_(-infty)^0 - 1/(1+i omega) [e^(-t(1+i omega))]_0^(+infty)=$
$=1/(1-i omega) + 1/(1+ i omega)=$
$=2/(1+omega^2)$
potrebbe essere corretto?
ciao!
Posso provare a postare il mio risultato sperando di risolverti dei dubbi e di non sbagliare calcoli
Ti consiglierei per il futuro come già ha fatto dan95 di postare un tentativo di risoluzione in modo da poterti aiutare individuando l'errore e non svolgendo l'esercizio al posto tuo
Io farei così
$F(e^(-|t|)) = int_(-infty)^(+infty) e^(-i omega t) e^ (-|t|) dt =$
$= int_(-infty)^(+infty) e^-(i omega t + |t|)=$
$=int_(-infty)^0 e^(-i omega t +t) dt + int_0^(+infty) e^(-i omega t -t ) dt =$
ti è chiaro perchè ho diviso in due integrali?
$=1/(1-i omega) [e^(t(1-i omega))]_(-infty)^0 - 1/(1+i omega) [e^(-t(1+i omega))]_0^(+infty)=$
$=1/(1-i omega) + 1/(1+ i omega)=$
$=2/(1+omega^2)$
potrebbe essere corretto?
ciao!
@mazzarri
E il fattore $\frac{1}{\sqrt(2\pi)}$ che moltiplica l'integrale?
E il fattore $\frac{1}{\sqrt(2\pi)}$ che moltiplica l'integrale?
@dan95
io ho considerato come vedi la "pulsazione" $omega = 2 pi nu$... non sono sicurissimo di aver fatto giusto ma se considero la pulsazione e non la frequenza nell'integrale il fattore di cui parli tu non si dovrebbe scrivere... così almeno mi ricordavo... ma forse mi sbaglio la mia memoria a volte gioca brutti scherzi
io ho considerato come vedi la "pulsazione" $omega = 2 pi nu$... non sono sicurissimo di aver fatto giusto ma se considero la pulsazione e non la frequenza nell'integrale il fattore di cui parli tu non si dovrebbe scrivere... così almeno mi ricordavo... ma forse mi sbaglio la mia memoria a volte gioca brutti scherzi
"mazzarri":
ciao Mate947
Io farei così
$F(e^(-|t|)) = int_(-infty)^(+infty) e^(-i omega t) e^ (-|t|) dt =$
$= int_(-infty)^(+infty) e^-(i omega t + |t|)=$
$=int_(-infty)^0 e^(-i omega t +t) dt + int_0^(+infty) e^(-i omega t -t ) dt =$
ti è chiaro perchè ho diviso in due integrali?
$=1/(1-i omega) [e^(t(1-i omega))]_(-infty)^0 - 1/(1+i omega) [e^(-t(1+i omega))]_0^(+infty)=$
$=1/(1-i omega) + 1/(1+ i omega)=$
$=2/(1+omega^2)$
potrebbe essere corretto?
ciao!
Grazie mille per la risposta! Sì, così è corretto. Io ho fatto seguendo un altro procedimento, ovvero considerando che la funzione è pari, ho usato la formula
$F(e^(-|t|)) =2 int_(0)^(+infty) e^(-t)cos(st) dt $
Purtroppo però nel calcolo di questo integrale sbaglio qualcosa. Senza considerare il 2 che moltiplica l'integrale, usando l'integrazione per parti, arrivo al punto dove
$ int_(0)^(+infty) e^(-t)cos(st) dt $ = $1-s(-e^-t sin(st))+s int_(0)^(+infty) e^(-t)cos(st) dt $
dove $(-e^-t sin(st))$ viene considerato tra 0 e+inf (e viene 0). Chiamando I l'integrale, mi risulta
$I=1+sI$
$I=1/(1-s)$, ovvero no mi compare il quadrato di s
Ciao Mate!
Non so perchè metti quel coseno, la formula che mi ricordavo era quella che ho usato io all'inizio... ci sarebbe il termine $e^(-i omega t)$ che tu non metti quindi non capisco come vai avanti... non puoi farla come ti scrivevo? Io l'avevo imparata così
Non so perchè metti quel coseno, la formula che mi ricordavo era quella che ho usato io all'inizio... ci sarebbe il termine $e^(-i omega t)$ che tu non metti quindi non capisco come vai avanti... non puoi farla come ti scrivevo? Io l'avevo imparata così
"mazzarri":
Ciao Mate!
Non so perchè metti quel coseno, la formula che mi ricordavo era quella che ho usato io all'inizio... ci sarebbe il termine $e^(-i omega t)$ che tu non metti quindi non capisco come vai avanti... non puoi farla come ti scrivevo? Io l'avevo imparata così
Sì, ma il nostro prof, nel caso di funzioni pari, ci ha dato anche questa formula che dovrebbe semplificare il tutto ma il risultati non coincidono
"mazzarri":
Ciao Mate!
Non so perchè metti quel coseno, la formula che mi ricordavo era quella che ho usato io all'inizio... ci sarebbe il termine $ e^(-i omega t) $ che tu non metti quindi non capisco come vai avanti... non puoi farla come ti scrivevo? Io l'avevo imparata così
La parte immaginaria è nulla perché $e^{-|t|}\sin(\omega t)$ è dispari.
L'integrale è giusto (anche se continuo a pensare che manca un fattore) ma è calcolato male.
"dan95":
La parte immaginaria è nulla perché $e^{-|t|}\sin(\omega t)$ è dispari.
L'integrale è giusto (anche se continuo a pensare che manca un fattore) ma è calcolato male.
Ciao dan95, non è che potresti scrivermi il procedimento per calcolare la trasformata con la formula del coseno che ho scritto io? In che senso l'integrale è calcolato male?
$\int e^{-t}\cos(\omega t)dt=-e^{-t}\cos(\omega t)-\int e^{-t}\omega \sin(\omega t)dt=-e^{-t}\cos(\omega t)-\omega(-e^{-t}\sin(\omega t)+\omega\int e^{-t}\cos(\omega t)dt)=-e^{-t}\cos(\omega t)+\omega e^{-t}\sin(\omega t)-\omega^2\int e^{-t}\cos(\omega t)dt$
Proseguendo:
$\int e^{-t}\cos(\omega t)dt=\frac{-e^{-t}\cos(\omega t)+\omega e^{-t}\sin(\omega t)}{1+\omega^2}$
Quindi...
Proseguendo:
$\int e^{-t}\cos(\omega t)dt=\frac{-e^{-t}\cos(\omega t)+\omega e^{-t}\sin(\omega t)}{1+\omega^2}$
Quindi...
"dan95":
$\int e^{-t}\cos(\omega t)dt=-e^{-t}\cos(\omega t)-\int e^{-t}\omega \sin(\omega t)dt=-e^{-t}\cos(\omega t)-\omega(-e^{-t}\sin(\omega t)+\omega\int e^{-t}\cos(\omega t)dt)=-e^{-t}\cos(\omega t)+\omega e^{-t}\sin(\omega t)-\omega^2\int e^{-t}\cos(\omega t)dt$
Proseguendo:
$\int e^{-t}\cos(\omega t)dt=\frac{-e^{-t}\cos(\omega t)+\omega e^{-t}\sin(\omega t)}{1+\omega^2}$
Quindi...
Grazie mille! Dimenticavo sempre un omega a denominatore, forse per distrazione
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