Trasformata e Serie di Fourier del prolungamento periodico, come potrei agevolare questi calcoli?

[Warioss]

Salve , sto cercando di risolvere il seguente esercizio :
•Testo:


Ora, in genere , per determinare la trasformata di Fourier di $x_0(t)$ , ossia $X_0 (ω)$ , procedo calcolando le derivate successive di $x_0(t)$ nel senso delle distribuzioni , finché fondamentalmente non scompaiono tutte le porte o gradini .

Ad esempio se in $x_0(t)$ fosse comparso soltanto il seno, la cosa sarebbe stata più agevole, ma quel $e^t$ rovina un po' tutto .

Ho pensato di procedere così :

• Derivata nel senso delle distribuzioni
$ x_0 (t) = e^t * sin(t) * [u(t+1) - u(t-1)] $

$e^(-t) * x_0 (t) = sin(t) * [u(t+1) - u(t-1)] $

$-e^(-t)*x_0 (t) + e^(-t)*x_0'(t) = cos(t)*[u(t+1) - u(t-1)] + sin(t) *[δ(t+1) - δ(t-1)] $

$-e^(-t)*x_0 (t) + e^(-t)*x_0'(t) = cos(t)*[u(t+1) - u(t-1)] + sin(-1)*δ(t+1) - sin(1)*δ(t-1)$

$ e^(-t)*x_0 (t) -e^(-t)*x_0 '(t) -e^(-t) *x_0'(t) +e^(-t)*x_0''(t) = sin(t) * [u(t+1) - u(t-1)] + cos(-1)*δ(t+1) - cos(1)*δ(t-1) + sin(-1)*δ'(t+1) - sin(1)*δ'(t-1) $

si osservi che $ sin(t) * [u(t+1) - u(t-1)] = x_0 (t)* e^(-t)$

$x_0 (t) -x_0 '(t) - x_0'(t) +x_0''(t) = e^(t)*x_0 (t)* e^(-t) + e^(t)*cos(-1)*δ(t+1) - e^(t)*cos(1)*δ(t-1) + e^(t)*sin(-1)*δ'(t+1) - e^(t)*sin(1)*δ'(t-1) $

$ - 2x_0' (t) + x_0''(t) = e^(t)*cos(-1)*δ(t+1) - e^(t)*cos(1)*δ(t-1) + e^(t)*sin(-1)*δ'(t+1) - e^(t)*sin(1)*δ'(t-1) $


• applico la trasformata di Fourier ad ambo i membri :
$ -2 * (-jω) * X_0 (ω) - (ω^2) * X_0 (ω) = (e^(-1 - i ω) (i ω sin(1) + e^(2 + 2 i ω) (i ω sin(1) + sin(1) - cos(1)) + sin(1) + cos(1)))/sqrt(2 π) $

$ X_0 (ω) = (e^(-1 - i ω) (i ω sin(1) + e^(2 + 2 i ω) (i ω sin(1) + sin(1) - cos(1)) + sin(1) + cos(1)))/(sqrt(2 π) (2 j ω - ω^2))$

Poi so come continuare per arrivare alla soluzione dell'esercizio ... soltanto che volevo chiedervi :

1) é corretto così?
2) c'è un modo migliore/più veloce ?

Grazie in Anticipo

[Warioss]

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