Trasformata di Steinmetz di una cosinusoide
Ciao a tutti,
non mi è ben chiaro come sia possibile che:
$S[A*cos(omega_0t+alpha)]=sqrt(2)/T*int_(-T/2)^(T/2)A*cos(omega_0t+alpha)*e^(-iomegat)dt=A/sqrt(2)*e^(ialpha)$
Ho provato a fare un po' di calcoli ma non riesco a giungere al risultato, in particolare non riesco a togliere la dipendenza da $omega$ della trasformata (che a quanto pare dà una funzione costante nelle $omega$).
Sulle slides leggo: "S-Trasformata del coseno", ma calcola $S[A*cos(omegat+alpha)]$.
Direi che questo non va proprio bene, non è che si può chiamare la pulsazione iniziale $omega$ come il parametro all'interno dell'integrale in modo da trattali allo stesso modo e semplificarli!
Che dite?
non mi è ben chiaro come sia possibile che:
$S[A*cos(omega_0t+alpha)]=sqrt(2)/T*int_(-T/2)^(T/2)A*cos(omega_0t+alpha)*e^(-iomegat)dt=A/sqrt(2)*e^(ialpha)$
Ho provato a fare un po' di calcoli ma non riesco a giungere al risultato, in particolare non riesco a togliere la dipendenza da $omega$ della trasformata (che a quanto pare dà una funzione costante nelle $omega$).
Sulle slides leggo: "S-Trasformata del coseno", ma calcola $S[A*cos(omegat+alpha)]$.
Direi che questo non va proprio bene, non è che si può chiamare la pulsazione iniziale $omega$ come il parametro all'interno dell'integrale in modo da trattali allo stesso modo e semplificarli!
Che dite?
Risposte
Noto inoltre che riesco a trovare informazioni su questo operatore sono in Italiano, come è possibile tutto ciò ? O.o
Ad esempio l'unica Wikipedia che lo tratta è quella in Italiano, solo a me pare che sia tutta sbagliata?
Infatti si mescolano i concetti di $omega_0$ e $omega$ per fare tornare i conti.
Qualche esperto di analisi funzionale riesce a dare un commento a riguardo ?
Grazie in anticipo
Ad esempio l'unica Wikipedia che lo tratta è quella in Italiano, solo a me pare che sia tutta sbagliata?
Infatti si mescolano i concetti di $omega_0$ e $omega$ per fare tornare i conti.
Qualche esperto di analisi funzionale riesce a dare un commento a riguardo ?
Grazie in anticipo
C'è qualcosa che non va nella tua definizione.
Infatti, nella definizione riportata su WIKI c'è scritto che la trasformata dipende dalla \(\omega\) non solo attraverso l'esponenziale complesso, ma anche attraverso gli estremi di integrazione ed un coefficiente di proporzionalità; nel tuo caso, invece, questa dipendenza manca del tutto.
Quindi propendo per il fatto che il tuo testo abbia fissato \(T\) in modo da far tornare i conti: in particolare, potrebbe aver scelto \(\omega\) in modo che \(\frac{\pi}{\omega}=\frac{T}{2}\), ossia \(T=\frac{2\pi}{\omega}\) (od \(\omega =\frac{2\pi}{T}\)... Ed immagino che questo sia il valore di \(\omega_0\), conoscendo le notazioni ingegneristiche).
Mi pare di capire che la trasformata agisce su roba in cui sono presenti \(t\) come variabile ed \(\omega\) come parametro libero (o come altra variabile, se vuoi) e restituisce una roba in cui compare solo \(\omega\) come variabile.
Insomma, la trasformata di Steinmetz non ti fa passare da una funzione della variabile \(t\) ad una di variabile \(\omega\) (come fa la T.d. Fourier o quella di Laplace); bensì ti satura solo la variabile temporale \(t\) facendo diventare il parametro \(\omega\) la vera variabile.
Tuttavia, anche con questa scelta, non mi spiego il fattore di normalizzazione \(\sqrt{2}\).
P.S.: Ad ogni modo, non ne avevo mai sentito parlare di questa trasformata; quindi prendi le considerazioni qui sopra con le molle.
Se poi fossero sensate/esatte, tanto meglio!
Infatti, nella definizione riportata su WIKI c'è scritto che la trasformata dipende dalla \(\omega\) non solo attraverso l'esponenziale complesso, ma anche attraverso gli estremi di integrazione ed un coefficiente di proporzionalità; nel tuo caso, invece, questa dipendenza manca del tutto.
Quindi propendo per il fatto che il tuo testo abbia fissato \(T\) in modo da far tornare i conti: in particolare, potrebbe aver scelto \(\omega\) in modo che \(\frac{\pi}{\omega}=\frac{T}{2}\), ossia \(T=\frac{2\pi}{\omega}\) (od \(\omega =\frac{2\pi}{T}\)... Ed immagino che questo sia il valore di \(\omega_0\), conoscendo le notazioni ingegneristiche).
Mi pare di capire che la trasformata agisce su roba in cui sono presenti \(t\) come variabile ed \(\omega\) come parametro libero (o come altra variabile, se vuoi) e restituisce una roba in cui compare solo \(\omega\) come variabile.
Insomma, la trasformata di Steinmetz non ti fa passare da una funzione della variabile \(t\) ad una di variabile \(\omega\) (come fa la T.d. Fourier o quella di Laplace); bensì ti satura solo la variabile temporale \(t\) facendo diventare il parametro \(\omega\) la vera variabile.
Tuttavia, anche con questa scelta, non mi spiego il fattore di normalizzazione \(\sqrt{2}\).
P.S.: Ad ogni modo, non ne avevo mai sentito parlare di questa trasformata; quindi prendi le considerazioni qui sopra con le molle.
Se poi fossero sensate/esatte, tanto meglio!
Ciao Gugo,
grazie innanzi tutto per la risposta.
Dunque teoricamente quello che si vorrebbe fare è:
supponiamo di avere $A_m*cos(omega_0t+alpha)$ con $omega_0=(2pi)/T$ e $TinRR^+$.
$A_m*cos(omega_0t+alpha)=R[A_m*e^(ialpha)*e^(iomega_0)]$.
Dal momento che in elettrotecnica si usano delle correnti (co)sinusoidali isofrequenziali (quindi tutte con la medesima pulsazione $omega_0$), l'esponenziale $e^(iomega_0)$ non mi dà informazione utile.
Di conseguenza può essere utile trovare un'applicazione biettiva che mi associ:
$A_m*cos(omega_0t+alpha)$ con $A_m*e^(ialpha)$.
Non so per quale motivo spesso gli elettronici/elettrotecnici amino utilizzare il valore efficace della sinusoide invece che l'ampiezza (Il valore efficace di $A_m*cos(omega_0t+alpha)$ è $A_m/sqrt(2)$).
Quindi l'applicazione biettiva usate è quella che mi associa:
$A_m*cos(omega_0t+alpha)$ con $A_m/sqrt(2)e^(ialpha)$.
Questo dovrebbe fare la trasformata di Steinmetz (che a quanto ho letto su un sito inglese manco l'ha inventata lui, per questo si trovano riferimenti solo in italiano....).
Fin qui tutto bene, il problema è quando spuntano fuori gli integrali sulle mie slides e su Wikipedia dove non sono chiare le notazioni.
Innanzi tutto vedo che si utilizza sempre $A_m*cos(omega_0t+alpha)$ come $A_m*cos(omegat+alpha)$ e quindi chiamano $omega_0$ con $omega$.
Ma a questo punto se tutti gli $omega$ che figurano nella definizione della trasformata sono $omega_0$ non è vero che la trasformata di Steinmetz associa ad una funzione temporale una funzione nelle $omega$, in quanto $omega$ è fissato! (Dal momento che si è posto $omega=omega_0$).
Questo mi sembra quello che hai scritto pure te.
In ultima analisi la definizione corretta dovrebbe essere:
Sia $a:RR->CC,t->a(t)$ sia $a$ periodica di periodo $T$, sia $omega_0=(2pi)/T$ allora viene definita trasformata di Steinmetz l'operatore:
$S[a(t)]=sqrt(2)/T*int_(-T/2)^(T/2)a(t)*e^(-iomega_0t)dt$.
Di conseguenza quello che fa è eliminare la dipendenza temporale, in realtà quindi mi dà una quantità costante ove figura il parametro $omega_0$.
Sei d'accordo?
In tal caso dovrebbe tornare tutto.
grazie innanzi tutto per la risposta.
Dunque teoricamente quello che si vorrebbe fare è:
supponiamo di avere $A_m*cos(omega_0t+alpha)$ con $omega_0=(2pi)/T$ e $TinRR^+$.
$A_m*cos(omega_0t+alpha)=R[A_m*e^(ialpha)*e^(iomega_0)]$.
Dal momento che in elettrotecnica si usano delle correnti (co)sinusoidali isofrequenziali (quindi tutte con la medesima pulsazione $omega_0$), l'esponenziale $e^(iomega_0)$ non mi dà informazione utile.
Di conseguenza può essere utile trovare un'applicazione biettiva che mi associ:
$A_m*cos(omega_0t+alpha)$ con $A_m*e^(ialpha)$.
Non so per quale motivo spesso gli elettronici/elettrotecnici amino utilizzare il valore efficace della sinusoide invece che l'ampiezza (Il valore efficace di $A_m*cos(omega_0t+alpha)$ è $A_m/sqrt(2)$).
Quindi l'applicazione biettiva usate è quella che mi associa:
$A_m*cos(omega_0t+alpha)$ con $A_m/sqrt(2)e^(ialpha)$.
Questo dovrebbe fare la trasformata di Steinmetz (che a quanto ho letto su un sito inglese manco l'ha inventata lui, per questo si trovano riferimenti solo in italiano....).
Fin qui tutto bene, il problema è quando spuntano fuori gli integrali sulle mie slides e su Wikipedia dove non sono chiare le notazioni.
Innanzi tutto vedo che si utilizza sempre $A_m*cos(omega_0t+alpha)$ come $A_m*cos(omegat+alpha)$ e quindi chiamano $omega_0$ con $omega$.
Ma a questo punto se tutti gli $omega$ che figurano nella definizione della trasformata sono $omega_0$ non è vero che la trasformata di Steinmetz associa ad una funzione temporale una funzione nelle $omega$, in quanto $omega$ è fissato! (Dal momento che si è posto $omega=omega_0$).
Questo mi sembra quello che hai scritto pure te.
In ultima analisi la definizione corretta dovrebbe essere:
Sia $a:RR->CC,t->a(t)$ sia $a$ periodica di periodo $T$, sia $omega_0=(2pi)/T$ allora viene definita trasformata di Steinmetz l'operatore:
$S[a(t)]=sqrt(2)/T*int_(-T/2)^(T/2)a(t)*e^(-iomega_0t)dt$.
Di conseguenza quello che fa è eliminare la dipendenza temporale, in realtà quindi mi dà una quantità costante ove figura il parametro $omega_0$.
Sei d'accordo?
In tal caso dovrebbe tornare tutto.
Sì, credo funzioni così.
Soprattutto ora che hai chiarito che lo scopo è quello di evidenziare il valore efficace di impulsi isofrequenziali (quindi tutti con \(\omega=\omega_0\) fissata) e la loro fase iniziale \(\alpha\).
Soprattutto ora che hai chiarito che lo scopo è quello di evidenziare il valore efficace di impulsi isofrequenziali (quindi tutti con \(\omega=\omega_0\) fissata) e la loro fase iniziale \(\alpha\).
Ok grazie mille per l'aiuto prezioso!
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