[Trasformata di Laplace] Teorema del valore finale
Buongiorno a tutti, scrivo per esporre un dubbio che mi affligge riguardante la seguente dimostrazione del "teorema del valore finale":
Ho postato direttamente le immagini del libro perchè c'è un passo della dimostrazione che probabilmente spiegherei male se lo isolassi dal resto, non avendolo capito.
Il mio dubbio è: perchè il fatto che x(t) sia limitata implica che esso sia assolutamente trasformabile per Re{s}>0 ?
Lo chiedo perchè nell' "osservazione 2.5" a cui rimanda il testo, non compaiono condizioni di limitatezza per x!
Inoltre, tra le ipotesi del teorema del valore finale c'è la sommabilità di x'(t): questa condizione non è già inclusa nella definizione di funzione assolutamente continua e quindi già presente nell'ipotesi iniziale di assoluta continuità della x ?
Grazie anticipatamente.
Ho postato direttamente le immagini del libro perchè c'è un passo della dimostrazione che probabilmente spiegherei male se lo isolassi dal resto, non avendolo capito.
Il mio dubbio è: perchè il fatto che x(t) sia limitata implica che esso sia assolutamente trasformabile per Re{s}>0 ?
Lo chiedo perchè nell' "osservazione 2.5" a cui rimanda il testo, non compaiono condizioni di limitatezza per x!
Inoltre, tra le ipotesi del teorema del valore finale c'è la sommabilità di x'(t): questa condizione non è già inclusa nella definizione di funzione assolutamente continua e quindi già presente nell'ipotesi iniziale di assoluta continuità della x ?
Grazie anticipatamente.
Risposte
[edited]
La trasformata di Laplace di $x(t)$ esiste se l'integrale
$\int_0^(+\infty)|x(t)e^(-st)|dt<\infty$
converge (assoluta convergenza). Si dimostra che questo avviene se $x(t)$ è di ordine esponenziale inferiore a $Re{s}$. Infatti:
$\int_0^(+\infty)|x(t)e^(-st)|dt=\int_0^(+\infty)|x(t)||e^(-st)|dt=\int_0^(+\infty)|x(t)||e^(-\sigmat)|dt$
essendo $Re{s}=\sigma$. Ora se supponiamo $x(t)=Ae^(at)$ si ha
$\int_0^(+\infty)|x(t)||e^(-\sigmat)|dt=A\int_0^(+\infty)e^((-\sigma+a)t)dt=A/(a-\alpha)e^((-\sigma+a)t)|_0^(+\infty)dt=A/(a-\sigma)lim_(t->\infty)e^((-\sigma+a)t)-A/(a-\sigma)
L'integrale converge solo se $\sigma>a$ (ed è pari a $A/(\sigma-a)$), ovvero solo nella regione del piano complesso tale che $Re{s}>a$.
$\int_0^(+\infty)|x(t)e^(-st)|dt<\infty$
converge (assoluta convergenza). Si dimostra che questo avviene se $x(t)$ è di ordine esponenziale inferiore a $Re{s}$. Infatti:
$\int_0^(+\infty)|x(t)e^(-st)|dt=\int_0^(+\infty)|x(t)||e^(-st)|dt=\int_0^(+\infty)|x(t)||e^(-\sigmat)|dt$
essendo $Re{s}=\sigma$. Ora se supponiamo $x(t)=Ae^(at)$ si ha
$\int_0^(+\infty)|x(t)||e^(-\sigmat)|dt=A\int_0^(+\infty)e^((-\sigma+a)t)dt=A/(a-\alpha)e^((-\sigma+a)t)|_0^(+\infty)dt=A/(a-\sigma)lim_(t->\infty)e^((-\sigma+a)t)-A/(a-\sigma)
L'integrale converge solo se $\sigma>a$ (ed è pari a $A/(\sigma-a)$), ovvero solo nella regione del piano complesso tale che $Re{s}>a$.
la mia perplessità non riguarda il concetto di assoluta trasformabilità, bensì il legame tra limitatezza e assoluta trasformabilità: in effetti ciò che non capisco è quel
"ne segue che x(t) è (...) anch'esso assolutamente trasformabile" .
c'è un ragionamento che continua a saltarmi in mente, ma non so se sia esatto o se sia un'eresia:
per ogni s tale che [tex]Re(s)>0[/tex] si ha:
[tex]|x(t) e^{-st}| \leq |x(t)|[/tex]
[tex]\int_{0}^{+\infty}|x(t) e^{-st}|dt \leq \int_{0}^{+\infty}|x(t)|dt[/tex]
ma ci sarebbe da provare che [tex]\int_{0}^{+\infty}|x(t)| dt < \infty[/tex] una condizione che che con le ipotesi a disposizione non è dimostrabile, o sbaglio?
"ne segue che x(t) è (...) anch'esso assolutamente trasformabile" .
c'è un ragionamento che continua a saltarmi in mente, ma non so se sia esatto o se sia un'eresia:
per ogni s tale che [tex]Re(s)>0[/tex] si ha:
[tex]|x(t) e^{-st}| \leq |x(t)|[/tex]
[tex]\int_{0}^{+\infty}|x(t) e^{-st}|dt \leq \int_{0}^{+\infty}|x(t)|dt[/tex]
ma ci sarebbe da provare che [tex]\int_{0}^{+\infty}|x(t)| dt < \infty[/tex] una condizione che che con le ipotesi a disposizione non è dimostrabile, o sbaglio?
Credo che con assolutamente trasformabile intenda assolutamente trasformabile per $Re s>0$, cosa che e' evidente se $x(t)$ e' limitato.
Infatto se $Re s>0$ $\int_0^{+\infty}|x(t)| |e^{-ts}| dt\leq \int_0^{+\infty}M e^{- (Re s)t}dt <+\infty$, dove
$M$ e' tale che $|x(t)|\leq M$.
Infatto se $Re s>0$ $\int_0^{+\infty}|x(t)| |e^{-ts}| dt\leq \int_0^{+\infty}M e^{- (Re s)t}dt <+\infty$, dove
$M$ e' tale che $|x(t)|\leq M$.
Credo di aver capito: in effetti il prodotto di |x(t)| per $e^{-Re(s)*t}$ "decade" (se Re(s)>0), quindi fuori d'un certo intervallo è nullo.
Quindi l'integrale su $(0,+\infty)$ non può essere infinito perchè ha "contributi" solo in quell'intervallo in cui la funzione integranda è diversa da zero, giusto?
Quindi l'integrale su $(0,+\infty)$ non può essere infinito perchè ha "contributi" solo in quell'intervallo in cui la funzione integranda è diversa da zero, giusto?
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