Trasformata di Laplace porta $\pi t$
Salve forum.
Mi sono appena avvicinato al mondo delle trasformate e tra i primi esercizi da svolgere, in particolare su quella di Laplace, ho forti dubbi sullo svolgimento.
Premessa: ho utilizzato Wolfram Alpha per confrontare i risultati.
Premessa 2: vorrei utilizzare questo topic per riportare tutti i miei dubbi sull'argomento e quindi sugli esercizi / teoria che ritengo più complessi.
Devo trovare la L.T. di
$\mathcal{L} (u(\pi t + 1) - u(\pi t - 1))$
Dove ovviamente $u$ è la funzione gradino.
La prima cosa che mi viene in mente di fare è utilizzare la proprietà di linearità delle L.T.
$\mathcal{L} (u(\pi t + 1)) - \mathcal{L} (u(\pi t - 1 )) (s)$
Ciò fatto ho risolto la trasformata destra nel seguente modo.
$\mathcal{L} (u(\pi t - 1 )) = \mathcal{L} ( u ( \pi ( t - 1 / \pi ) ) )$
Utilizzando la proprietà di tralsazione in $t$ ( è fatta in modo corretto? )
$= e^(-s/\pi) \mathcal{L} ( u ( \pi t ) ) (s) $
Ottengo, per il riscalamento
$= e^(-s/\pi) 1/\pi \mathcal{L} ( u(t) ) ( s / \pi ) $
Che a quanto ho capito risulta essere
$e^(-s/ \pi ) (1 / \pi) (\pi / s) = e^(-s/ \pi ) / s $
Poi invece per la prima ho problemi nell'incipit :s
Molte grazie!
Mi sono appena avvicinato al mondo delle trasformate e tra i primi esercizi da svolgere, in particolare su quella di Laplace, ho forti dubbi sullo svolgimento.
Premessa: ho utilizzato Wolfram Alpha per confrontare i risultati.
Premessa 2: vorrei utilizzare questo topic per riportare tutti i miei dubbi sull'argomento e quindi sugli esercizi / teoria che ritengo più complessi.
Devo trovare la L.T. di
$\mathcal{L} (u(\pi t + 1) - u(\pi t - 1))$
Dove ovviamente $u$ è la funzione gradino.
La prima cosa che mi viene in mente di fare è utilizzare la proprietà di linearità delle L.T.
$\mathcal{L} (u(\pi t + 1)) - \mathcal{L} (u(\pi t - 1 )) (s)$
Ciò fatto ho risolto la trasformata destra nel seguente modo.
$\mathcal{L} (u(\pi t - 1 )) = \mathcal{L} ( u ( \pi ( t - 1 / \pi ) ) )$
Utilizzando la proprietà di tralsazione in $t$ ( è fatta in modo corretto? )
$= e^(-s/\pi) \mathcal{L} ( u ( \pi t ) ) (s) $
Ottengo, per il riscalamento
$= e^(-s/\pi) 1/\pi \mathcal{L} ( u(t) ) ( s / \pi ) $
Che a quanto ho capito risulta essere
$e^(-s/ \pi ) (1 / \pi) (\pi / s) = e^(-s/ \pi ) / s $
Poi invece per la prima ho problemi nell'incipit :s
Molte grazie!
Risposte
Nessuno può aiutarmi?
Puoi verificare la correttezza della prima trasformata eseguendo esplicitamente l'integrale:
$[u(\pit-1)=0] harr [t<1/\pi]$
$[u(\pit-1)=1] harr [t>1/\pi]$
$F(s)=\int_0^(+oo)e^(-st)f(t)dt=\int_(1/\pi)^(+oo)e^(-st)dt=[e^(-st)/(-s)]_(1/\pi)^(+oo)=e^(-s/\pi)/s$
Per quanto riguarda la seconda trasformata, poichè la proprietà che hai applicato vale solo per le traslazioni verso destra, io la calcolerei esplicitamente:
$[u(\pit+1)=0] harr [t<-1/\pi]$
$[u(\pit+1)=1] harr [t> -1/\pi]$
$F(s)=\int_0^(+oo)e^(-st)f(t)dt=\int_0^(+oo)e^(-st)dt=[e^(-st)/(-s)]_0^(+oo)=1/s$
$[u(\pit-1)=0] harr [t<1/\pi]$
$[u(\pit-1)=1] harr [t>1/\pi]$
$F(s)=\int_0^(+oo)e^(-st)f(t)dt=\int_(1/\pi)^(+oo)e^(-st)dt=[e^(-st)/(-s)]_(1/\pi)^(+oo)=e^(-s/\pi)/s$
Per quanto riguarda la seconda trasformata, poichè la proprietà che hai applicato vale solo per le traslazioni verso destra, io la calcolerei esplicitamente:
$[u(\pit+1)=0] harr [t<-1/\pi]$
$[u(\pit+1)=1] harr [t> -1/\pi]$
$F(s)=\int_0^(+oo)e^(-st)f(t)dt=\int_0^(+oo)e^(-st)dt=[e^(-st)/(-s)]_0^(+oo)=1/s$
Fatto tanto casino e poi bastava applicare la soluzione. Grazie mille!
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