Trasformata di Laplace: esponenziale con modulo.

[enzialdiff]

Salve a tutti, sto avendo difficoltà con questo esercizio:

Risolvere, utilizzando la trasformata di Laplace, il seguente problema di Cauchy in $[0,+ infty [$ :

$y'' − 4y = 1− e^(|t−1|−1)$
$y(0) = 0, y'(0) = 0$

Il problema principale è chiaramente la trasformata di
$L[1-e^(|t-1|-1)](s)$

Come posso trattarla?

Grazie

[Nietzsche610]

Ciao!
Innanzitutto sfruttando la linearità, puoi separare le due trasformate.
Per il modulo, puoi sfruttare la definizione:

$e^(|t-1|-1)=\{(e^(t-2), text{per } t-1>=0->t>=1),(e^(-t), text{per } t-1<0->t<1):}$.

Sapendo che la trasformata di Laplace di una funzione $f(t)$ è definita come: $\mathcal{L}{f(t)}(s)=\int_{0}^(+\infty)f(t)e^(-st)dt$,
puoi spezzare l'integrale così:

$\mathcal{L}{1-e^(|t-1|-1)}(s)=\mathcal{L}{1(t)}(s)-\mathcal{L}{e^(|t-1|-1)}(s)=$

$=\mathcal{L}{1(t)}(s)-\int_{0}^(+\infty)e^(|t-1|-1)e^(-st)dt=$

$=\mathcal{L}{1(t)}(s)-\int_{0}^(1)e^(-t)e^(-st)dt-\int_{1}^(+\infty)e^(t-2)e^(-st)dt$.

[enzialdiff]

Grazie Gabriele.Sciaguato.

Per evitare comunque l'uso di integrali ho pensato di procedere in questo modo usando i gradini e le proprietà della trasformata di Laplace

$f(t)=1-e^(|t-1|-1)=\{(1-e^(t-2), text{per } t>=1 text{ cioè } (1-e^(t-2))[u(t-1)] ),(1-e^(-t), text{per }t<1 text{ cioè } (1-e^(-t))[u(t)-u(t-1)]):}$.

quindi $f(t)=(1-e^(t-2))[u(t-1)]+(1-e^(-t))[u(t)-u(t-1)]=u(t)-e^(-t)u(t)+e^(-t)u(t-1)-e^(t-2)u(t-1)$

e infine bisogna fare quattro semplici trasformate $L[u(t)-e^(-t)u(t)+e^(-t)u(t-1)-e^(t-2)u(t-1)](s)$