Trasformata di Laplace con equazione a Delta negativo

[Legolas84]

Ciao, sto risolvendo questo problema di Cauchy da fare attraverso trasformazione di Laplace:

$\{(y''-4y'+5y = 2t + \delta(t-1)),(y'(0) = 0 | y(0) = 1):}$

Facendo tutti i conti ordinari arrivo ad ottenere questa equazione:

$s^2 -4s +5 = 0$

Che ha delta negativo e ha per soluzioni 2+i e 2-i.

Ora andando avanti a risolvere il problema il primo fratto semplice che mi viene da risolvere sarebbe così:

$1/(s^2-4s+5)$

Che io in modo forse ignorante ho inteso così:

$1/((s-(2+i))*(s-(2-i)))$

La domanda è se vado avanti a calcolare per fratti semplici quanto ottenuto sto andando nella direzione giusta per trovare la soluzione oppure sto sbagliando procedimento e devo fare qualcos'altro?

Grazie

[Legolas84]

Nessuna idea? Mi basterebbe l’imbeccata giusta

[Legolas84]

up, nessuno che voglia discutere di questo problema

[gugo82]

Ma più semplicemente:
\[
\frac{1}{s^2-4s+5} = \frac{1}{(s-2)^2+1}
\]
che è qualcosa di molto elementare, se non ricordo male.

[Legolas84]

E poi così i fratti semplici come li calcoli?

[gugo82]

"Legolas84":E poi così i fratti semplici come li calcoli?

Non serve, infatti.
A occhio, direi che quella roba lì è la trasformata di un coseno (se non erro) moltiplicato per un esponenziale o qualcosa del genere, per trasformate notevoli e regole varie.

[pilloeffe]

Ciao Legolas84,

Come spesso accade ha ragione gugo82, infatti si ha:

$ \mathcal{L}^{- 1} [\frac{1}{(s-2)^2+1}] = e^{2t}sin t $

Più in generale si ha:

$ \mathcal{L}^{- 1} [\frac{b}{(s-a)^2 + b^2}] = e^{at}sin(bt) $

[Legolas84]

Avete ragione.... il bello è che lo ho pure sulle tavole.

Comunque io ho provato anche a portare avanti la questione con i numeri complessi partendo dai fratti semplici calcolati da

$1/((s-(2+i))*(s-(2-i)))$

Ed ho ottenuto effettivamente un risultato con parametri complessi.

Secondo voi può essere giusto anche così come ho fatto io, oppure è comunque sbagliato passare ai complessi? (Che è inutile lo ho capito, ma mi preme sapere se è anche sbagliato per cultura personale).