Trasformata di Laplace

[Vincent2]

Devo calcolare la trasformata di Laplace di
$f(t) = (2t)/pi 0<=t<=pi/2$
$f(t) = sent t>=pi/2$

Scrivo la funzione come unica espressione usando le porte
$f(t)=(2t)/pi * (u(t)-u(t-pi/2)) + sen(t) * u(t-pi/2)$

Utilizzando la linearità ho
$2/pi L(t u(t)) - 2/pi L(t u(t-pi/2)) + sen(t) u(t-pi/2)$

Il primo termine si trasforma subito in $1/s^2$, ma gli altri 2 non avendo la stessa variabile, non so come comportarmi!

[Sk_Anonymous]

Forza bruta:

$F(s)=\int_{0}^{+oo}e^(-st)f(t)dt=$

$=\int_{0}^{pi/2}e^(-st)(2t)/pidt+\int_{pi/2}^{+oo}e^(-st)sentdt=$

$=2/pi\int_{0}^{pi/2}e^(-st)tdt+1/(2i)\int_{pi/2}^{+oo}e^((-s+i)t)dt-1/(2i)\int_{pi/2}^{+oo}e^((-s-i)t)dt=$

$=2/pi[(-t/s-1/s^2)e^(-st)]_{0}^{pi/2}+1/(2i)[e^((-s+i)t)/(-s+i)]_{pi/2}^{+oo}-1/(2i)[e^((-s-i)t)/(-s-i)]_{pi/2}^{+oo}=$

$=2/pi[(-pi/(2s)-1/s^2)e^(-spi/2)+1/s^2]+e^((-s+i)pi/2)/(2i(s-i))-e^((-s-i)pi/2)/(2i(s+i))=$

$=(-1/s-2/(pis^2))e^(-pi/2s)+2/(pis^2)+e^(-pi/2s)/(2(s-i))+e^(-pi/2s)/(2(s+i))=$

$=2/(pis^2)-(1/s+2/(pis^2)-s/(s^2+1))e^(-pi/2s)$

Se non altro e se non ho sbagliato i conti, ora puoi fare una verifica.

[Vincent2]

Un bel casino! Speravo ci fosse qualche regola di traslazione o quant'altro che mi sfuggiva!

[Sk_Anonymous]

"Vincent":
Un bel casino! Speravo ci fosse qualche regola di traslazione o quant'altro che mi sfuggiva!

Dovrebbe esserci. Anzi, sarebbe meglio risolverlo utilizzando i teoremi. Alla fine puoi fare una verifica.

[ciampax]

All'interno dei termini dove le variabili sono diverse, basta sommare e sottrarre una costante per ottenere quello che ti serve:

$L(t\cdot u(t-\pi/2))=L((t-\pi/2+\pi/2)\cdot u(t-\pi/2))=L((t-\pi/2)\cdot u(t-\pi/2))+\pi/2\cdot L(u(t-\pi/2))$

$L(\sin t\cdot u(t-\pi/2))=L(\sin(t-\pi/2+\pi/2)\cdot u(t-\pi/2))=L(\cos(t-\pi/2)\cdot u(t-\pi/2))$

dove nell'ultimo ho usato il fatto che $\sin(\alpha+\pi/2)=\cos\alpha$.

[Sk_Anonymous]

@ciampax
Ottimo.