Trasformata di Laplace
Si calcoli la trasformata di laplace di:$f(s)=(cos(s))/(s^3+1)+s-1$
Risposte
Nessuno sa aiutarmi?
Beh... diciamo che la funzione di $s$ di cui richiedi la trasformata inversa è un miscuglio di diversi ingredienti che è meglio analizzare separatamente. Cominciamo da quello che non richiede trattamenti ‘anomali’, ossia...
$f(s)= cos(s)/(1+s^3)$ (1)
Per ’andare sul sicuro’ applichiamo la formula di inversione complessa, la quale, nota $f(s)=L [phi(t)]$, permette di calcolare…
$phi(t)=1/(2*pi*j) int_(c-j*oo)^(c+j*oo) e^(s*t)*f(s)*ds$ (2)
… in cui $c$ è scelto in modo che tutte le singolarità della $f(s)$ abbiano parte reale $
$1/(2*pi*j) int_C e^(s*t)* f(s)*ds$ (3)
… lungo il percorso chiuso ABC di figura…
… e si determina poi …
$phi(t) = lim_(R->oo) 1/(2*pi*j) * [int_C e^(s*t)*f(s)*ds –int_(BCA) e^(s*t)*f(s)*ds]$ (4)
Sotto opportune ipotesi [verificate in questo caso] si dimostra che…
$lim_(R->oo) int_(BCA) e^(s*t)*f(s)*ds=0$ (5)
… per cui…
$phi(t)=1/(2*pi*j)*lim_(R->oo) int_C e^(s*t)*f(s)*ds= 1/(2*pi*j) sum_k r_k* [e^(s*t)*f(s)]$ (6)
… essendo le $r_k$ i residui della $e^(s*t)*f(s)$. Nel nostro caso $f(s)= cos(s)/(1+s^3)$ ha tre residui in corrispondenza di $s1=-1$, $s2=1/2*(1-sqrt(3))$,$s3=1/2*(1+sqrt(3))$. A questo punto si tratta solamente di calcolare le…
$r_k= lim_ (s->sk) (s-sk)*e^(s*t)*cos(s)/(1+s^3)$ (7)
… e andarle a sostituire nella (6)… cosa che sai fare certamente meglio di me…
cordiali saluti
lupo grigio
an old wolf may lose his teeth, but never his nature
$f(s)= cos(s)/(1+s^3)$ (1)
Per ’andare sul sicuro’ applichiamo la formula di inversione complessa, la quale, nota $f(s)=L [phi(t)]$, permette di calcolare…
$phi(t)=1/(2*pi*j) int_(c-j*oo)^(c+j*oo) e^(s*t)*f(s)*ds$ (2)
… in cui $c$ è scelto in modo che tutte le singolarità della $f(s)$ abbiano parte reale $
$1/(2*pi*j) int_C e^(s*t)* f(s)*ds$ (3)
… lungo il percorso chiuso ABC di figura…
… e si determina poi …
$phi(t) = lim_(R->oo) 1/(2*pi*j) * [int_C e^(s*t)*f(s)*ds –int_(BCA) e^(s*t)*f(s)*ds]$ (4)
Sotto opportune ipotesi [verificate in questo caso] si dimostra che…
$lim_(R->oo) int_(BCA) e^(s*t)*f(s)*ds=0$ (5)
… per cui…
$phi(t)=1/(2*pi*j)*lim_(R->oo) int_C e^(s*t)*f(s)*ds= 1/(2*pi*j) sum_k r_k* [e^(s*t)*f(s)]$ (6)
… essendo le $r_k$ i residui della $e^(s*t)*f(s)$. Nel nostro caso $f(s)= cos(s)/(1+s^3)$ ha tre residui in corrispondenza di $s1=-1$, $s2=1/2*(1-sqrt(3))$,$s3=1/2*(1+sqrt(3))$. A questo punto si tratta solamente di calcolare le…
$r_k= lim_ (s->sk) (s-sk)*e^(s*t)*cos(s)/(1+s^3)$ (7)
… e andarle a sostituire nella (6)… cosa che sai fare certamente meglio di me…
cordiali saluti
lupo grigio
an old wolf may lose his teeth, but never his nature
Grazie 1000
scusa una cosa;
$s-1$ che fine fa?
$s-1$ che fine fa?
Il denominatore della $f(s)$ è scomponibile come...
$s^3+1= (s+1)*(s^2-s+1)$ (1)
... e quindi $s-1$ non è una singolarità della $f(s)$...
cordiali saluti
lupo grigio
an old wolf may lose his teeth, but never his nature
$s^3+1= (s+1)*(s^2-s+1)$ (1)
... e quindi $s-1$ non è una singolarità della $f(s)$...
cordiali saluti
lupo grigio
an old wolf may lose his teeth, but never his nature
"lupo grigio":
Il denominatore della $f(s)$ è scomponibile come...
$s^3+1= (s+1)*(s^2-s+1)$ (1)
... e quindi $s-1$ non è una singolarità della $f(s)$...
cordiali saluti
lupo grigio
an old wolf may lose his teeth, but never his nature
Quindi calcolare la trasformata di $cos(s)/(s^3+1)+s-1$ equivale a calcolare quella del "primo pezzo";e se $s-1$ fosse stata singolarità?
Potresti vedere,se possibile,questo post -> https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=15199
forse tu mi sai rispondere.
Saluti
... in quanto, causa la lettura troppo frettolosa del testo, ho frainteso... 
Giustamente tu chiedi, dopo aver risolto il 'primo pezzo', che cosa si fà di quanto rimane, vale a dire di...
$f(s)= s-1$ (1)
In altre parole tu chiedi di sapere qual è la $gamma(t)$ tale che $L[gamma(t)]=s-1$?...
Diciamo subito che in questo caso l'approccio, usato in precedenza fallisce dal momento che sul 'grande cerchio' l'integrale di $e^(s*t)*f(s)$ non tende a zero per $R->oo$. Per risolvere la cosa si può ricorrere alla formula che fornisce la L-traformata della derivata di una funzione...
$L[phi(t)]=f(s)$ -> $L[phi'(t)]=s*f(s)-phi(0)$ (2)
Se nella (2) poniamo $phi(t)=delta (t)$ otteniamo...
$L[delta(t)]=1$ -> $L[delta'(t)]=s-delta(0)$ (3)
... da cui...
$1=L[delta(t)]$ , $s=L[delta'(t)]+delta(0)$ (4)
... da cui...
$s-1= L[delta'(t)-delta(t)] +delta(0)$ (5)
Antitrasformando entrambi i termini della (5) si dovrebbe ottenere la $gamma(t)$ richiesta. Questo da un punto di vista esclusivamente 'formale'. Da un punto di vista 'sostanziale' invece il modo di procedere a partire dalla (5) a dir la verità mi è piuttosto 'oscuro', ragione per la quale lascio volentieri la parola a un altro...
cordiali saluti
lupo grigio
an old wolf may lose his teeth, but never his nature
Giustamente tu chiedi, dopo aver risolto il 'primo pezzo', che cosa si fà di quanto rimane, vale a dire di...
$f(s)= s-1$ (1)
In altre parole tu chiedi di sapere qual è la $gamma(t)$ tale che $L[gamma(t)]=s-1$?...
Diciamo subito che in questo caso l'approccio, usato in precedenza fallisce dal momento che sul 'grande cerchio' l'integrale di $e^(s*t)*f(s)$ non tende a zero per $R->oo$. Per risolvere la cosa si può ricorrere alla formula che fornisce la L-traformata della derivata di una funzione...
$L[phi(t)]=f(s)$ -> $L[phi'(t)]=s*f(s)-phi(0)$ (2)
Se nella (2) poniamo $phi(t)=delta (t)$ otteniamo...
$L[delta(t)]=1$ -> $L[delta'(t)]=s-delta(0)$ (3)
... da cui...
$1=L[delta(t)]$ , $s=L[delta'(t)]+delta(0)$ (4)
... da cui...
$s-1= L[delta'(t)-delta(t)] +delta(0)$ (5)
Antitrasformando entrambi i termini della (5) si dovrebbe ottenere la $gamma(t)$ richiesta. Questo da un punto di vista esclusivamente 'formale'. Da un punto di vista 'sostanziale' invece il modo di procedere a partire dalla (5) a dir la verità mi è piuttosto 'oscuro', ragione per la quale lascio volentieri la parola a un altro...
cordiali saluti
lupo grigio
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"lupo grigio":
... in quanto, causa la lettura troppo frettolosa del testo, ho frainteso...
Giustamente tu chiedi, dopo aver risolto il 'primo pezzo', che cosa si fà di quanto rimane, vale a dire di...
$f(s)= s-1$ (1)
In altre parole tu chiedi di sapere qual è la $gamma(t)$ tale che $L[gamma(t)]=s-1$?...
Diciamo subito che in questo caso l'approccio, usato in precedenza fallisce dal momento che sul 'grande cerchio' l'integrale di $e^(s*t)*f(s)$ non tende a zero per $R->oo$. Per risolvere la cosa si può ricorrere alla formula che fornisce la L-traformata della derivata di una funzione...
$L[phi(t)]=f(s)$ -> $L[phi'(t)]=s*f(s)-phi(0)$ (2)
Se nella (2) poniamo $phi(t)=delta (t)$ otteniamo...
$L[delta(t)]=1$ -> $L[delta'(t)]=s-delta(0)$ (3)
... da cui...
$1=L[delta(t)]$ , $s=L[delta'(t)]+delta(0)$ (4)
... da cui...
$s-1= L[delta'(t)-delta(t)] +delta(0)$ (5)
Antitrasformando entrambi i termini della (5) si dovrebbe ottenere la $gamma(t)$ richiesta. Questo da un punto di vista esclusivamente 'formale'. Da un punto di vista 'sostanziale' invece il modo di procedere a partire dalla (5) a dir la verità mi è piuttosto 'oscuro', ragione per la quale lascio volentieri la parola a un altro...
cordiali saluti
lupo grigio
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Quindi il discorso su $cos(s)/(s^3+1)$ vale ancora oppure no?
Sì, il discorso a proposito di $f(s)=cos(s)/(s^3+1)$ vale ancora...
cordiali saluti
lupo grigio
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cordiali saluti
lupo grigio
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