Trasformata di Laplace
Salve ragazzi. Non mi è chiaro il procedimento per svolgere la trasformata di Laplace di:
$t^2sint$
Dalla teoria ho studiato che bisogna fare l'integrale tra 0 e infinito di $e^(-zt)t^2sint$ giusto?
Per risolvere questo integrale c'è qualche metodo veloce?
Grazie anticipate.
La soluzione dovrebbe essere:
$(2(3z^2-1))/((1+z^2)^3)$
$t^2sint$
Dalla teoria ho studiato che bisogna fare l'integrale tra 0 e infinito di $e^(-zt)t^2sint$ giusto?
Per risolvere questo integrale c'è qualche metodo veloce?
Grazie anticipate.
La soluzione dovrebbe essere:
$(2(3z^2-1))/((1+z^2)^3)$
Risposte
Devi usare le proprietà della trasformata di Laplace e il fatto che la trasformata di \(\sin t\) è nota (dovresti averla vista a lezione o comunque trovarla sulle tavole di trasformate note).
Ricordati le proprietà che legano derivate e trasformata di Laplace. Alla fine dei conti, ti dovresti trovare a calcolare una derivata, invece di calcolare l'integrale che hai pensato tu.
P.S.: Io trovo un risultato leggermente diverso:
\[
\mathcal L[t^2\sin t]= \frac{2z^2-2}{(1+z^2)^3}, \]
non so se ho sbagliato io qualche conto, è molto probabile
Ricordati le proprietà che legano derivate e trasformata di Laplace. Alla fine dei conti, ti dovresti trovare a calcolare una derivata, invece di calcolare l'integrale che hai pensato tu.
P.S.: Io trovo un risultato leggermente diverso:
\[
\mathcal L[t^2\sin t]= \frac{2z^2-2}{(1+z^2)^3}, \]
non so se ho sbagliato io qualche conto, è molto probabile
Grazie per la risposta...potresti farmi vedere il procedimento per arrivare a quel risultato?
Cmq ho controllato anche su wolfram alpha ed il risultato esatto è quello che postato io.
Cmq ho controllato anche su wolfram alpha ed il risultato esatto è quello che postato io.
È meglio se lo trovi da solo, anche perché ho poco tempo (ma soprattutto perché è molto più istruttivo per te). Ricordati che
\[
\frac d {dz} \mathcal L [\sin t](z) = \mathcal L[-t \sin t](z).\]
Quindi,
\[
\frac{d^2}{dz^2} \mathcal L [\sin t](z) = ...\]
Concludi sostituendo a \(\mathcal L[\sin t](z)\) la sua espressione esplicita, che puoi calcolare tu integrando per parti oppure andare a leggere su una tavola di trasformate.
\[
\frac d {dz} \mathcal L [\sin t](z) = \mathcal L[-t \sin t](z).\]
Quindi,
\[
\frac{d^2}{dz^2} \mathcal L [\sin t](z) = ...\]
Concludi sostituendo a \(\mathcal L[\sin t](z)\) la sua espressione esplicita, che puoi calcolare tu integrando per parti oppure andare a leggere su una tavola di trasformate.
allora ho ragionato vedendo le varie proprietà della trasformata di laplace:
sapendo che la trasformata di $t^n*f(t)=d^n/dz^n L f(z)$ calcolo prima la trasformata di Laplace di sin t che è $1/(z^2+1)$ e la derivo due volte ottenendo il risultato che ho postato in precedenza....ti ringrazio per la disponibilità
sapendo che la trasformata di $t^n*f(t)=d^n/dz^n L f(z)$ calcolo prima la trasformata di Laplace di sin t che è $1/(z^2+1)$ e la derivo due volte ottenendo il risultato che ho postato in precedenza....ti ringrazio per la disponibilità
Esatto.
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