Trasformata di Hilbert

[and1991]

Ciao a tutti, sto studiando la trasformata di Hilbert. Sul libro c'è scritto che la trasformata di Hilbert può essere interpretata come un filtro lineare e tempo-invariante la cui risposta impulsiva è data da $h(t)=1/(pi t)$. Dimostrare la linearità è banale ma non riesco a capire come dimostrare la tempoinvarianza. In generale la tempoinvarianza l'ho sempre dimostrata in questo modo:
Supponendo di avere ad esempio un sistema $y(t)=Ax(t)$
Considero il segnale di ingresso $x_1(t)=x(t-t_0)$ e verifico che l'uscita $y_1(t)=Ax_1(t)$ sia uguale a $y(t-t_0)=Ax(t-t0)$.

Nel mio caso ho che:

$hat(x(t))=x(t)**1/(pi t)=int_(-oo)^(+oo) x(alpha) 1/(pi (t-alpha))d alpha $
Considerando il segnale $x_1(t)=x(t-t_0)$ devo verificare che $hat(x)(t-t_0)=x(t-t0)**1/(pi (t-t_0))=int_(-oo)^(+oo) x(alpha) 1/(pi (t-t_0-alpha))d alpha $

sia uguale a

$hat(x_1)(t)=x_1(t)**1/(pi t)= int_(-oo)^(+oo) x(alpha-t_0) 1/(pi (t-t_0-alpha))d alpha $

ma evidentemente sono diversi quindi significa che o sbaglio i conti o procedo in modo errato.
Quindi la mia domanda è: come faccio a dimostrare la tempoinvarianza? Ho provato a cercare in giro ma sembra che sia un qualcosa di immediato dato che non trovo la dimostrazione da nessuna parte. Grazie a chiunque mi aiuterà

[dissonance]

Si, sbagli qualcosa. Dovresti trovare un $\alpha-t_0$ in entrambi i fattori, così te ne puoi sbarazzare con un cambio di variabile. Mi perdo però nelle tue notazioni e quindi, purtroppo, te le cambio. Dimenticandosi del \(\pi\), la trasformata di Hilbert è l'operazione seguente:
\[
(Hx)(t)=\int_{-\infty}^\infty x(t-\alpha)\frac 1 \alpha\, d\alpha.\]
Se applichiamo $H$ a $x_1(\beta)=x(\beta -t_0)$, otteniamo
\[
(Hx_1)(t)=\int_{-\infty}^\infty x_1(t-\alpha) \frac 1 \alpha\, d\alpha=\int_{-\infty}^\infty x(t-\alpha-t_0)\frac 1 \alpha\, d\alpha=(H x)(t-t_0).\]

[and1991]

grazie!