Trasformata di fourier $y(t)=e^{-|t|/T}$

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Salve a tutti! Ho dei problemi a calcolare la trasformata continua di fourier del segnale $y(t)=e^{-|t|/T}$.
Per definizione ho che
[tex]\displaystyle Y(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}y(t)e^{-j2\pi ft}dt[/tex]
Stavo pensando di sfruttare il fatto che è una funzione reale pari per fare il solo integrale della parte reale di $Y(f)$, ma penso che i conti con coseni di mezzo siano molto più difficili dei conti con soli esponenziali.
In ogni caso, sviluppando trovo
[tex]\displaystyle Y(f)=\int_{-\infty}^{0}e^{t/T}e^{-j2\pi ft}dt+\int_{0}^{+\infty}e^{-t/T}e^{-j2\pi ft}dt=\left.-\frac{e^{-t\left(j2\pi f-1/T\right)}}{j2\pi f-1/T}\right|_{-\infty}^{0}\left.-\frac{e^{-t\left(j2\pi f+1/T\right)}}{j2\pi f+1/T}\right|_{0}^{+\infty}[/tex]

Per quanto riguarda il secondo membro, sono sicuro che la quantità [tex]-t\left(j2\pi f+1/T\right)[/tex] all'esponente non è negativa, in quanto sia periodo che frequenza sono positivi, quindi vado sul sicuro nel dire che
[tex]\displaystyle \left.-\frac{e^{-t\left(j2\pi f+1/T\right)}}{j2\pi f+1/T}\right|_{0}^{+\infty}=\lim_{t\rightarrow+\infty}-\frac{e^{-t\left(j2\pi f+1/T\right)}}{j2\pi f+1/T}+\frac{1}{j2\pi f+1/T}=\frac{T}{j2\pi fT+1}[/tex]

Ma per il termine
[tex]\displaystyle \left.-\frac{e^{-t\left(j2\pi f-1/T\right)}}{j2\pi f-1/T}\right|_{-\infty}^{0}[/tex]
come procedo?? perche
[tex]\displaystyle \left.-\frac{e^{-t\left(j2\pi f-1/T\right)}}{j2\pi f-1/T}\right|_{0}^{+\infty}=\lim_{t\rightarrow-\infty}-\frac{e^{-t\left(j2\pi f-1/T\right)}}{j2\pi f-1/T}+\frac{1}{j2\pi f-1/T}=\begin{cases}
\frac{1}{j2\pi f-1/T} & \text{ se }j2\pi f-1/T<0\\
+\infty & \text{ se }j2\pi f-1/T>0\end{cases}[/tex]

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mi sono appena accorto dell'enorme cavolata che ho scritto... sono il primo essere umano per cui le relazioni d'ordine $>$ e $<$ hanno senso nei numeri complessi... potete cancellare questo (orribile) topic volendo...