[Trasformata di Fourier] Potenziale Coulombiano
Ciao gente,
qualcuno sa dove posso trovare (anche solo il risultato) la trasformata di Fourier del potenziale di Coulomb in $n$ dimensioni?
qualcuno sa dove posso trovare (anche solo il risultato) la trasformata di Fourier del potenziale di Coulomb in $n$ dimensioni?
Risposte
Scusa, fabbri, ma qual è il potenziale di Coulomb?
Per caso è la funzione \(\mathbb{R}^N\setminus \{o\} \ni x\mapsto |x|^{2-N}\in ]0,\infty[\)?
Sai com'è, se vedo la funzione "in volto", forse ti so dare un riferimento più preciso.
Inoltre, quale definizione di trasformata di Fourier usi?
Di solito Fisici e Matematici usano normalizzazioni diverse, perciò mi interessa.
Per caso è la funzione \(\mathbb{R}^N\setminus \{o\} \ni x\mapsto |x|^{2-N}\in ]0,\infty[\)?
Sai com'è, se vedo la funzione "in volto", forse ti so dare un riferimento più preciso.
Inoltre, quale definizione di trasformata di Fourier usi?
Di solito Fisici e Matematici usano normalizzazioni diverse, perciò mi interessa.
Hai ragione, urgono precisazioni. Più precisamente vorrei sapere dove posso trovare conferma o smentita del risultato
\( \displaystyle \frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int_{\mathbb{R}^n} d^n x \, \frac{ e^{i\textbf{k}\cdot\textbf{x}} }{x} = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \Gamma \left( \frac{n-1}{2} \right) \left( \frac{2}{k} \right)^{n-1}\)
con \( \textbf{x}=(x_1,...,x_n)\), \(\textbf{k}=(k_1,...,k_n)\), \(\textbf{k}\cdot\textbf{x} = \sum_i k_i x_i \), \(x=(\textbf{x}\cdot\textbf{x})^{1/2}\) e \(k=(\textbf{k}\cdot\textbf{k})^{1/2}\).
\( \displaystyle \frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int_{\mathbb{R}^n} d^n x \, \frac{ e^{i\textbf{k}\cdot\textbf{x}} }{x} = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \Gamma \left( \frac{n-1}{2} \right) \left( \frac{2}{k} \right)^{n-1}\)
con \( \textbf{x}=(x_1,...,x_n)\), \(\textbf{k}=(k_1,...,k_n)\), \(\textbf{k}\cdot\textbf{x} = \sum_i k_i x_i \), \(x=(\textbf{x}\cdot\textbf{x})^{1/2}\) e \(k=(\textbf{k}\cdot\textbf{k})^{1/2}\).
Sicuro dell'esponente al denominatore?
Direi che dovrebbe essere \(n-2\) (e quindi \(1\) solo nel caso tridimensionale).
Direi che dovrebbe essere \(n-2\) (e quindi \(1\) solo nel caso tridimensionale).
Capisco la tua perplessità riguardo all'esponente e immagino che sia per questioni di convergenza. Usando un mollificatore si riesce però a dare lo stesso un valore a quell'integrale in senso distribuzionale, se ho capito bene. In ogni caso ho trovato qualcosa qui, teorema 3. E anche sulla voce di wiki c'è qualcosa...
In realtà non volevo farne una questione di sommabilità... È che vorrei proprio sapere com'è fatta la funzione trasformanda.
Se non ho interpretato male, il tuo potenziale dovrebbe essere simile alla soluzione fondamentale dell'equazione di Laplace in \(\mathbb{R}^N\), ossia \una cosa del tipo \(C/|x|^{N-2}\). Perciò mi pare strano l'esponente \(1\) a denominatore.
Ad ogni modo, nel caso \(N=3\), ho visto che la trasformata si calcola "col trucco": infatti, si trasforma la funzione \(e^{-\alpha |x|}/|x|\) (usando le coordinate polari in qualche modo) e poi si manda \(\alpha \to 0\) per ottenere la trasformata che interessa.
Se non ho interpretato male, il tuo potenziale dovrebbe essere simile alla soluzione fondamentale dell'equazione di Laplace in \(\mathbb{R}^N\), ossia \una cosa del tipo \(C/|x|^{N-2}\). Perciò mi pare strano l'esponente \(1\) a denominatore.
Ad ogni modo, nel caso \(N=3\), ho visto che la trasformata si calcola "col trucco": infatti, si trasforma la funzione \(e^{-\alpha |x|}/|x|\) (usando le coordinate polari in qualche modo) e poi si manda \(\alpha \to 0\) per ottenere la trasformata che interessa.
"gugo82":
Se non ho interpretato male, il tuo potenziale dovrebbe essere simile alla soluzione fondamentale dell'equazione di Laplace in \(\mathbb{R}^N\), ossia \una cosa del tipo \(C/|x|^{N-2}\). Perciò mi pare strano l'esponente \(1\) a denominatore.
Mi sono espresso male io. Intendo proprio la funzione $|x|^{-1}$.
"gugo82":
Ad ogni modo, nel caso \(N=3\), ho visto che la trasformata si calcola "col trucco": infatti, si trasforma la funzione \(e^{-\alpha |x|}/|x|\) (usando le coordinate polari in qualche modo) e poi si manda \(\alpha \to 0\) per ottenere la trasformata che interessa.
Avevo infatti usato questo "trucco" per ottenere il risultato di prima, che però è errato. Quello corretto è
\[ \displaystyle \frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int_{\mathbb{R}^n} d^n x \, \frac{ e^{i\textbf{k}\cdot\textbf{x}} }{x} = \frac{2^{n/2-1}}{\sqrt{\pi}} \Gamma \left( \frac{n-1}{2} \right) \left( \frac{1}{k} \right)^{n-1} \]
Per quanto riguarda il trucco l'idea è che questa affermazione vale in senso distribuzionale?
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