Trasformata di Fourier per un'identità

[Injo]

Devo dimostrare che [tex]\int_0^\infty \frac{cos(\alpha x)}{x^2+1} dx = frac{\pi}{2} e^{-|\alpha|}[/tex] utilizzando la trasformata di Fourier (che, premetto, conosco poco e niente purtroppo). Ho pensato di partire in questo modo:
[tex]f(x)=\frac{\pi}{2} e^{-|\alpha|} \rightarrow \hat{f}=\int_\mathbb R \frac{\pi}{2} e^{-|\alpha|} e^{-2\pi itx} dx = \frac{\pi}{2} e^{-|\alpha|} \int_\mathbb R cos(2\pi tx) dx[/tex].
Però non trovo alcun modo per raggiungere una forma che assomigli a quella che devo trovare. Sapreste darmi una mano?

[Sk_Anonymous]

Utilizzando le seguenti notazioni:

$[F(k)=\int_{-oo}^{+oo}e^(ikx)f(x)dx] harr [f(x)=1/(2pi)\int_{-oo}^{+oo}e^(-ikx)F(k)dk]$

si può calcolare la seguente trasformata di Fourier:

$[f(x)=1/(x^2+1)] rarr [F(k)=\int_{-oo}^{+oo}e^(ikx)/(x^2+1)dx] rarr [F(k)=pie^(-|k|)]$

Quindi, spezzando l'integrale e considerando che la prima funzione integranda è pari e la seconda è dispari:

$[F(k)=\int_{-oo}^{+oo}e^(ikx)/(x^2+1)dx] rarr$

$rarr [F(k)=\int_{-oo}^{+oo}cos(kx)/(x^2+1)dx+i\int_{-oo}^{+oo}sin(kx)/(x^2+1)dx] rarr$

$rarr [F(k)=2\int_{0}^{+oo}cos(kx)/(x^2+1)dx] rarr$

$rarr [2\int_{0}^{+oo}cos(kx)/(x^2+1)dx=pie^(-|k|)] rarr$

$rarr [\int_{0}^{+oo}cos(kx)/(x^2+1)dx=pi/2e^(-|k|)]$