Trasformata di Fourier parziale: un passaggio oscuro
Sto leggendo un libro (Berezin, Shubin The Schroedinger equation, teorema 1.2 supplemento 2) su cui ho trovato un passaggio che proprio non riesco a capire. Ve lo riporto.
Sia [tex]u \in \mathcal{S}_n[/tex], lo spazio di Schwartz n-dimensionale, e sia [tex]n \ge 2[/tex]. Scriviamo [tex]u=u(x', x_n),\ x'\in \mathbb{R}^{n-1},\ x_n \in \mathbb{R}[/tex]. Dal teorema di inversione della trasformata di Fourier abbiamo, evidentemente,
[tex]$u(x', 0)=(2\pi)^{-n/2}\int e^{i x'\cdot \xi'}\hat{u}(\xi', \xi_n)\, d\xi_n d\xi' ;[/tex]
e su questo non ci piove. Ora il libro chiama [tex]\mathcal{F}'[/tex] la trasformazione di Fourier rispetto a [tex]x'[/tex] e dice che, chiaramente,
[tex]$\mathcal{F}'u(x', 0)=\int \hat{u}(\xi', \xi_n)\, d \xi_n.[/tex]
Mi sento davvero un cretino ma purtroppo non riesco a capire come arriva a quest'ultima identità. Qualcuno ha voglia di darmi una mano?
Sia [tex]u \in \mathcal{S}_n[/tex], lo spazio di Schwartz n-dimensionale, e sia [tex]n \ge 2[/tex]. Scriviamo [tex]u=u(x', x_n),\ x'\in \mathbb{R}^{n-1},\ x_n \in \mathbb{R}[/tex]. Dal teorema di inversione della trasformata di Fourier abbiamo, evidentemente,
[tex]$u(x', 0)=(2\pi)^{-n/2}\int e^{i x'\cdot \xi'}\hat{u}(\xi', \xi_n)\, d\xi_n d\xi' ;[/tex]
e su questo non ci piove. Ora il libro chiama [tex]\mathcal{F}'[/tex] la trasformazione di Fourier rispetto a [tex]x'[/tex] e dice che, chiaramente,
[tex]$\mathcal{F}'u(x', 0)=\int \hat{u}(\xi', \xi_n)\, d \xi_n.[/tex]
Mi sento davvero un cretino ma purtroppo non riesco a capire come arriva a quest'ultima identità. Qualcuno ha voglia di darmi una mano?
Risposte
Senza scendere troppo nel dettaglio (anche perché ulteriori verifiche sono abbastanza facili) se provi a trasformare una funzione di due variabili (supponendo che valgano tutte le ipotesi possibili e immaginabili per effettuare tale procedimento) hai
[tex]$\mathcal{F}u\,(\xi,\eta)=\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\int_{-\infty}^{+\infty} u(x,y) e^{i(x\xi+y\eta)}\ dx\ dy=
\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\int_{-\infty}^{+\infty} u(x,y) e^{ix\xi}\ dx\right) e^{iy\eta}\ dy$[/tex]
da cui se poni
[tex]$\tilde{u}(\xi,y)=\int_{-\infty}^{+\infty} u(x,y) e^{ix\xi}\ dx$[/tex]
Non ricordo bene se questa cosa in italiano si dice che la trasformata di Fourier è "iterativa" ma il senso è quello.
[tex]$\mathcal{F}u\,(\xi,\eta)=\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\int_{-\infty}^{+\infty} u(x,y) e^{i(x\xi+y\eta)}\ dx\ dy=
\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\int_{-\infty}^{+\infty} u(x,y) e^{ix\xi}\ dx\right) e^{iy\eta}\ dy$[/tex]
da cui se poni
[tex]$\tilde{u}(\xi,y)=\int_{-\infty}^{+\infty} u(x,y) e^{ix\xi}\ dx$[/tex]
Non ricordo bene se questa cosa in italiano si dice che la trasformata di Fourier è "iterativa" ma il senso è quello.
Ti ringrazio, ciampax, sei stato molto chiaro ma purtroppo continuo a non capire. (Il libro ci mette anche del suo, quelle notazioni sono un po' ambigue. Penso che consulterò altre fonti). Spiego il mio dubbio. Il problema è:
dal contesto capisco che con il simbolo [tex]\mathcal{F}'u(x', 0)[/tex] lui intende
[tex]$\mathcal{F}'\big[u(x', 0)\big](\xi')=(2\pi)^{-(n-1)/2} \int_{\mathbb{R}^{n-1}} u(x', 0)e^{-i x' \cdot \xi'}\, dx'[/tex]
e dice che questa roba è uguale a
[tex]$\int_{\mathbb{R}} \hat{u}(\xi', \xi_n)\, d \xi_n[/tex]
dove
[tex]$\hat{u}(\xi', \xi_n)=(2\pi)^{-n/2}\int_{\mathbb{R}^n} u(x', x_n)e^{-i x'\cdot \xi'}e^{-i x_n \xi_n}\, dx' dx_n[/tex]
non giustificando l'affermazione ma lasciando intendere che si usa il teorema di inversione. Nonostante il tuo precedente post, ancora non riesco a capire come ha fatto...
dal contesto capisco che con il simbolo [tex]\mathcal{F}'u(x', 0)[/tex] lui intende
[tex]$\mathcal{F}'\big[u(x', 0)\big](\xi')=(2\pi)^{-(n-1)/2} \int_{\mathbb{R}^{n-1}} u(x', 0)e^{-i x' \cdot \xi'}\, dx'[/tex]
e dice che questa roba è uguale a
[tex]$\int_{\mathbb{R}} \hat{u}(\xi', \xi_n)\, d \xi_n[/tex]
dove
[tex]$\hat{u}(\xi', \xi_n)=(2\pi)^{-n/2}\int_{\mathbb{R}^n} u(x', x_n)e^{-i x'\cdot \xi'}e^{-i x_n \xi_n}\, dx' dx_n[/tex]
non giustificando l'affermazione ma lasciando intendere che si usa il teorema di inversione. Nonostante il tuo precedente post, ancora non riesco a capire come ha fatto...
Eh... bé... è quello che ti ho scritto io... oddio al momento sono cotto a tal punto da non riuscire ad essere più preciso. Prometto che domattina, appena sveglio, ti scrivo una spiegazione migliore, perché adesso devo metabolizzare le 4 ore di lezione di oggi! 
Ok, ciampax! Se trovi due minuti per spiegarmi, quando vuoi, mi fai un favore. Sennò non ti preoccupare, mi cercherò questo teorema (è il teorema di traccia di Sobolev, in una versione "soft" che si può trattare con la trasformata) sul libro di Adams dove c'è di sicuro.
Ciao...non so se ti può interessare una argomentazione da fisico, spero magari ti dia uno spunto...
E' una questione di scambiare gli integrali e tirare fuori una delta di Dirac. Riprendendo le tue definizioni dell'ultimo post si ha che
[tex]$\mathcal{F}'\big[u(x', 0)\big](\eta')=(2\pi)^{-(n-1)/2} \int_{\mathbb{R}^{n-1}} dx' e^{-i x' \cdot \eta'}\, u(x', 0) =[/tex]
[tex]= (2\pi)^{-(n-1)/2} \int_{\mathbb{R}^{n-1}} dx' e^{-i x' \cdot \eta'}\, \left( (2\pi)^{-n/2}\int_{\mathbb{R}^n} \hat{u}(\xi', \xi_n)e^{-i x'\cdot \xi'}\, d\xi' d\xi_n \right) =[/tex]
[tex]= (2\pi)^{-n+1/2} \int_{\mathbb{R}^{n-1}} dx' \int_{\mathbb{R}^{n-1}} d\xi' \int_{\mathbb{R}} d\xi_n e^{i x' \cdot (\xi'-\eta')} \hat{u}(\xi', \xi_n) =[/tex]
[tex]= (2\pi)^{-1/2} \int_{\mathbb{R}^{n-1}} d\xi' \int_{\mathbb{R}} d\xi_n \delta(\xi' - \eta') \hat{u}(\xi', \xi_n) =[/tex]
[tex]= (2\pi)^{-1/2} \int_{\mathbb{R}} d\xi_n \hat{u}(\eta', \xi_n)[/tex]
Come ti dicevo vuole solo essere uno spunto perchè mi avanza un fattore [tex]1/\sqrt{2\pi}[/tex] che non riesco a capire come mandare via...magari è solo questione che la trasformata F' è definita con la normalizzazione a n dimensioni e non n-1....non saprei.
E' una questione di scambiare gli integrali e tirare fuori una delta di Dirac. Riprendendo le tue definizioni dell'ultimo post si ha che
[tex]$\mathcal{F}'\big[u(x', 0)\big](\eta')=(2\pi)^{-(n-1)/2} \int_{\mathbb{R}^{n-1}} dx' e^{-i x' \cdot \eta'}\, u(x', 0) =[/tex]
[tex]= (2\pi)^{-(n-1)/2} \int_{\mathbb{R}^{n-1}} dx' e^{-i x' \cdot \eta'}\, \left( (2\pi)^{-n/2}\int_{\mathbb{R}^n} \hat{u}(\xi', \xi_n)e^{-i x'\cdot \xi'}\, d\xi' d\xi_n \right) =[/tex]
[tex]= (2\pi)^{-n+1/2} \int_{\mathbb{R}^{n-1}} dx' \int_{\mathbb{R}^{n-1}} d\xi' \int_{\mathbb{R}} d\xi_n e^{i x' \cdot (\xi'-\eta')} \hat{u}(\xi', \xi_n) =[/tex]
[tex]= (2\pi)^{-1/2} \int_{\mathbb{R}^{n-1}} d\xi' \int_{\mathbb{R}} d\xi_n \delta(\xi' - \eta') \hat{u}(\xi', \xi_n) =[/tex]
[tex]= (2\pi)^{-1/2} \int_{\mathbb{R}} d\xi_n \hat{u}(\eta', \xi_n)[/tex]
Come ti dicevo vuole solo essere uno spunto perchè mi avanza un fattore [tex]1/\sqrt{2\pi}[/tex] che non riesco a capire come mandare via...magari è solo questione che la trasformata F' è definita con la normalizzazione a n dimensioni e non n-1....non saprei.
Concordo con alle.fabbri, intuitivamente salta fuori la convoluzione con la delta di dirac, la dimostrazione formale ricalca quella della formula di inversione come passaggio di limite sotto segno d'integrale di
[tex]$\lim_{k\rightarrow +\infty}\int_{\mathbb{R}^{n-1}} u(x', 0) e^{-ix'\cdot \eta'} e^{-|x'/k |^2}dx' = \lim_{k\rightarrow +\infty}\int_{\mathbb{R}^{n-1}} \left (\int_{\mathbb{R}^n} \hat u(\xi',\xi_n) e^{i\xi'\cdot x'} e^{i\xi_n x_n}d\xi'd\xi_n\right) e^{-ix'\cdot \eta'} e^{-|x'/k |^2}dx'$[/tex]
A questo punto scambiando gli integrali si ottiene
[tex]$\int_{\mathbb{R}^{n}} \hat u(\xi',\xi_n) \left (\int_{\mathbb{R}^{n-1}} e^{-i(\eta' - \xi')\cdot x'}e^{-|x'/k |^2}dx' \right) e^{i\xi_n x_n}d\xi'd\xi_n$[/tex]
e continuando vedendo la trasformata di [tex]$e^{-|x'/k |^2}$[/tex] e applicando la convergenza dominata si arriva a risolvere l'integrale rispetto alle variabili [tex]$\xi'$[/tex].
[tex]$\lim_{k\rightarrow +\infty}\int_{\mathbb{R}^{n-1}} u(x', 0) e^{-ix'\cdot \eta'} e^{-|x'/k |^2}dx' = \lim_{k\rightarrow +\infty}\int_{\mathbb{R}^{n-1}} \left (\int_{\mathbb{R}^n} \hat u(\xi',\xi_n) e^{i\xi'\cdot x'} e^{i\xi_n x_n}d\xi'd\xi_n\right) e^{-ix'\cdot \eta'} e^{-|x'/k |^2}dx'$[/tex]
A questo punto scambiando gli integrali si ottiene
[tex]$\int_{\mathbb{R}^{n}} \hat u(\xi',\xi_n) \left (\int_{\mathbb{R}^{n-1}} e^{-i(\eta' - \xi')\cdot x'}e^{-|x'/k |^2}dx' \right) e^{i\xi_n x_n}d\xi'd\xi_n$[/tex]
e continuando vedendo la trasformata di [tex]$e^{-|x'/k |^2}$[/tex] e applicando la convergenza dominata si arriva a risolvere l'integrale rispetto alle variabili [tex]$\xi'$[/tex].
In pratica [tex]\delta=\hat{1}[/tex], se capisco bene.
Una costante trasformata è una delta, poi l'ampiezza della delta dipende da come si definisce la trasformata stessa.
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