Trasformata di Fourier (già svolta) che non capisco

[Marvin94]

Si tratta della seguente trasformata, direttamente tratta dal libro:



Il mio problema è dalla terza alla quarta riga. Mi spiego meglio: inizialmente ho pensato "ok, sostituendo infinito alla x ottengo meno infinito all'esponente di 'e' e quindi il prodotto risulta zero... 'meno' la stessa espressione sostituendo zero, e ottengo quindi il risultato dell'ultima riga". Però facendo più attenzione, vedo che all'esponente della 'e' vi è anche l'unità immaginaria coinvolta nel prodotto con la 'x' e mi chiedo: che senso ha il prodotto "(+/-) i * infinito" ? Quanto vale? A rafforzare i miei dubbi è stato anche il pensare quell' "e" secondo la formula di eulero: se infatti è vero che, ad esempio, e^(-i*x)=cosx - i*sinx , dire che x tende all'infinito non ha senso, perché il seno ed il coseno sono funzioni periodiche, per cui come si fa a conoscerne il limite? Insomma, è solo un altro modo per pormi la domanda precedente.

Grazie a tutti in anticipo per la vostra risposta!!

[Rigel1]

Immagino che \(u\) sia il gradino unitario (funzione di Heaviside) e che \(a > 0\).
Il simbolo \(\infty\) nella terza riga va interpretato come un limite per \(x\to +\infty\).
Vedi subito che
\[
\left| e^{-(a + i \omega) x} \right| = e^{-a x}
\]
e il secondo membro tende a \(0\) per \(x \to + \infty\).