Trasformata di Fourier e insiemi sulla quale è definita

[Daniele Florian]

Dunque, studiando da un punto di vista un pò teorico la TdF mi sono imbattuto in un dubbio.
Per quanto ho visto, la TdF si definisce innanzitutto sullo spazio $cc(S)$ di Schwartz, anzi ne induce un endomorfismo.
Dunque:
$F: cc(S) -> cc(S)$
Poi,grazie alla densità di $cc(S)$ in $L^2$, si estende a quest ultimo.
Ma quel che ci interessa è che l estensione massima del dominio della Trasformata di Fourier l abbiamo con le distribuzioni temperate, ovvero:
$AA phi in cc(S)T in cc(S)'$
$=$
quindi abbiamo "passato" la definizione di trasformata dalle funzioni a decrescenza rapida alle distribuzioni temperate.
Ora però mi dicono che questo è l unico sottospazio delle distribuzioni sul quale è definita la trasformata, ma ciò non mi torna.
Infatti secondo il mio ragionamento (che sicuramente è errato ma non capisco perchè) la definizione appena data può essere anche utilizzaa per tutte le distribuzioni.
Questo è quello che ho pensato:
Sappiamo che $cc(D) sub cc(S)$
Quindi, se definiamo la trasformata di una distribuzione temperata scaricando la trasformata sull elemento in S, automaticamente lo stiamo facendo per gli elementi di D, ergo definendo la trasformata per tutte le distribuzioni: cos è che sbaglio, o, in poche parole, perchè la Trasformata di Fourier non è definita per tutte le distribuzioni?!?

[dissonance]

Si? Allora dovrebbe essere definita anche la trasformata di Fourier di \(e^x\), che è una distribuzione sopraffina, solo che non è temperata. E però, siccome

\[\frac{d}{dx}(e^x)=e^x, \]

trasformando ambo i membri [size=80](*)[/size] otterremmo

\[(i \xi)\mathscr{F}\left(e^x\right)= \mathscr{F} e^x, \]

e quindi

\[(1-i\xi) \mathscr{F}(e^x)=0,\]

e siccome \((1-i\xi)\) non si annulla mai, questo implica \(\mathscr{F}(e^x)=0\) e quindi \(e^x=0\). Porca miseria!!!


____________
(*) Dove la trasformata è definita in \(\mathscr{S}\) da

\[\mathscr{F}(u)=\int_{-\infty}^\infty u(x)e^{-ix \xi}\, dx.\]

Con altre definizioni nelle formule di derivazione possono saltare fuori delle costanti.

[Daniele Florian]

Ma io mi chiedo, se definiamo sulle distribuzioni temperate la trasformata scaricando questa sulla funzione di Schwartz, dato che tutte le funzioni liscie a supporto compatto sono di Shartz, non abbiamo indotto implicitamente una definizione sulle distribuzioni totali (ergo, possiamo scaricare anche sulle funzioni a supporto compatto)?

Il tuo come altri mille controesempi mi dimostrano che non è così, ma non capisco dove sbaglio nel ragionamento...
Grazie.

[dissonance]

E' un problema di continuità: non basta che \(\mathscr{F}\) sia definita su \(\mathscr{D}\), deve essere anche continua per mettere in moto la macchina dell'estensione allo spazio duale. Ma purtroppo \(\mathscr{F}\) è continua solo rispetto alla topologia di \(\mathscr{S}\) e non rispetto alla topologia di \(\mathscr{D}\). Un esempio ora non mi sovviene e purtroppo sto scappando perché ho una visita medica tra poco. Pensaci un po' tu e se non ti sei convinto ne riparliamo in un altro momento.

[Daniele Florian]

Credo di aver finalmente capito.
Il punto è che la trasformata di Fourier è sì un endomorfismo da S in S, ma se ristretta a D questa non solo non va in D, ma va in S\D, ovvero la trasformata di una funzione a supporto compatto non è mai a supporto compatto, e questo fa sì che la distribuizione per la quale "era abiutata" non è più in grado di integrarsi... ok detta così non si capisce niente ma era il punto che cercavo

[Daniele Florian]

Ho letto solo ora la tua nuova risposta, ora mi è più chiaro, grazie mille.

[Daniele Florian]

Dunque, pensando all esponenziale com distribuzione non temperata, qual è una funzione dello spazio $S$ tale che:

$int_R e^x phi dx$
non converge?

[dissonance]

"Daniele Florian":Credo di aver finalmente capito.
Il punto è che la trasformata di Fourier è sì un endomorfismo da S in S, ma se ristretta a D questa non solo non va in D, ma va in S\D, ovvero la trasformata di una funzione a supporto compatto non è mai a supporto compatto, e questo fa sì che la distribuizione per la quale "era abiutata" non è più in grado di integrarsi... ok detta così non si capisce niente ma era il punto che cercavo

Si, si, è così. Infatti il mio post precedente era fuorviante, è questo il vero motivo per cui non si riesce a definire la trasformata su \(\mathscr{D}'\) ma solo su \(\mathscr{S}'\) che è uno spazio più piccolo.

Per l'altra domanda, in questo momento non sono in grado di rispondere con precisione, ma pensa a qualcosa tipo \(e^{-\lvert x \rvert}\). Si, non è di classe Schwartz perché non è liscia per \(x=0\), ma regolarizzando un po' in un intorno dell'origine dovrebbe darti il controesempio che cerchi.