Trasformata di Fourier distribuzioni
Vorrei sapere se faccio correttamente questo esercizio.
Per prima cosa mi viene chiesto di provare che $u=pv e^(-|x|)/x$ è una tempered distribution, e poi di calcolare la sua trasformata di Fourier.
Non ho mai visto il principal value con un esponenziale ma sono andato a logica...
so che $1=x(pv 1/x)$ che è una tempered distribution, allora (forse?) $e^(-|x|)=x (pv e^(-|x|)/x)$ è una tempered distribution.
Per calcolare la trasformata di Fourier sfrutto questa cosa. Quindi, se è corretto, mi riscrivo $u$ come $u=e^(-|x|)/x$ poichè $pv e^(-|x|)/x=e^(-|x|)/x$
Quindi $xu(x)=e^(-|x|)$ e di conseguenza la sua trasformata sarà $\hat{xu}=\hat{e^(-|x|)}$
La moltiplicazione per $x$ in trasformata di Fourier è una derivata moltiplicata per $i$, mentre la trasformata dell'esponenziale me lo calcolo con la definizione.
$i d/(d\xi) \hat{u}:= \int_\RR e^(-|x|) e^(-i \xi x) dx=\int_-\infty^0 -e^x e^(-i \xi x) dx +\int_0^\infty e^(-x)e^(-i \xi x)dx=[-1/(1-i \xi)e^((1-i \xi)x)]_-\infty^0 + [-1/(1+i \xi) e^((1+i \xi)x)]_0^\infty=-1/(1-i \xi) + 1/(1+i \xi)=-(2i \xi)/(1+\xi^2)$
Quindi
$i \hat(u)=-i\int_0^\xi (2t)/(1+t^2)dt \Rightarrow \hat{u}=-ln(1+\xi ^2)$
Per prima cosa mi viene chiesto di provare che $u=pv e^(-|x|)/x$ è una tempered distribution, e poi di calcolare la sua trasformata di Fourier.
Non ho mai visto il principal value con un esponenziale ma sono andato a logica...
so che $1=x(pv 1/x)$ che è una tempered distribution, allora (forse?) $e^(-|x|)=x (pv e^(-|x|)/x)$ è una tempered distribution.
Per calcolare la trasformata di Fourier sfrutto questa cosa. Quindi, se è corretto, mi riscrivo $u$ come $u=e^(-|x|)/x$ poichè $pv e^(-|x|)/x=e^(-|x|)/x$
Quindi $xu(x)=e^(-|x|)$ e di conseguenza la sua trasformata sarà $\hat{xu}=\hat{e^(-|x|)}$
La moltiplicazione per $x$ in trasformata di Fourier è una derivata moltiplicata per $i$, mentre la trasformata dell'esponenziale me lo calcolo con la definizione.
$i d/(d\xi) \hat{u}:= \int_\RR e^(-|x|) e^(-i \xi x) dx=\int_-\infty^0 -e^x e^(-i \xi x) dx +\int_0^\infty e^(-x)e^(-i \xi x)dx=[-1/(1-i \xi)e^((1-i \xi)x)]_-\infty^0 + [-1/(1+i \xi) e^((1+i \xi)x)]_0^\infty=-1/(1-i \xi) + 1/(1+i \xi)=-(2i \xi)/(1+\xi^2)$
Quindi
$i \hat(u)=-i\int_0^\xi (2t)/(1+t^2)dt \Rightarrow \hat{u}=-ln(1+\xi ^2)$
Risposte
"Tempered distribution" = "distribuzione temperata"
"principal value" = "valore principale"
Questi termini sono di uso comune in italiano, non c'è nessun bisogno di usare inglesismi. Se ti piace l'inglese scrivi direttamente tutto in inglese, mischiare le due lingue serve solo quando non esiste un termine adeguato in italiano. In caso contrario, appesantisce inutilmente il discorso. (P.S. Anche a me piace l'inglese).
A parte questo dettaglio, la soluzione sembra corretta. La parte teorica non si capisce molto, in realtà. Se usi il fatto che \(xu\in\mathcal S'\Rightarrow u\in\mathcal S'\), allora è sbagliata, perché questa implicazione non è vera. \(u=\delta\) è un controesempio.
Forse l'estensore dell'esercizio vuole che tu verifichi direttamente la definizione di distribuzione temperata (con le seminorme o con le successioni in \(\mathcal S\)).
"principal value" = "valore principale"
Questi termini sono di uso comune in italiano, non c'è nessun bisogno di usare inglesismi. Se ti piace l'inglese scrivi direttamente tutto in inglese, mischiare le due lingue serve solo quando non esiste un termine adeguato in italiano. In caso contrario, appesantisce inutilmente il discorso. (P.S. Anche a me piace l'inglese).
A parte questo dettaglio, la soluzione sembra corretta. La parte teorica non si capisce molto, in realtà. Se usi il fatto che \(xu\in\mathcal S'\Rightarrow u\in\mathcal S'\), allora è sbagliata, perché questa implicazione non è vera. \(u=\delta\) è un controesempio.
Forse l'estensore dell'esercizio vuole che tu verifichi direttamente la definizione di distribuzione temperata (con le seminorme o con le successioni in \(\mathcal S\)).
Non ho scritto in inglese per fare il figo. Seguo il corso in inglese e non sapevo se i rispettivi nomi in italiano fossero traduzioni alla lettera.
Noi in classe abbiamo dimostrato che $1=x(pv 1/x)$ è una distribuzione temperata, quindi se ci viene chiesto in un esercizio, lo prendiamo per buono senza rifare la dimostrazione. Dato che il mio problema è dimostrare che $u \in S'$, dato che mi confermi che la trasformata è giusta usando quell'identità, dovrei poter dire che $pv e^(-|x|)/x$ è una distribuzione temperata.
Formalmente io scriverei:
dato che $1=x (pv 1/x)$ è una distribuzione temperata, allora dato che $e^(-|x|)=x (pv (e^(-|x|))/x)$, $u(x)=e^(-|x|))/x$ è una distribuzione temperata.
O per dimostrarlo devo utilizzare la definizione e vedere se va a 0?
Noi in classe abbiamo dimostrato che $1=x(pv 1/x)$ è una distribuzione temperata, quindi se ci viene chiesto in un esercizio, lo prendiamo per buono senza rifare la dimostrazione. Dato che il mio problema è dimostrare che $u \in S'$, dato che mi confermi che la trasformata è giusta usando quell'identità, dovrei poter dire che $pv e^(-|x|)/x$ è una distribuzione temperata.
Formalmente io scriverei:
dato che $1=x (pv 1/x)$ è una distribuzione temperata, allora dato che $e^(-|x|)=x (pv (e^(-|x|))/x)$, $u(x)=e^(-|x|))/x$ è una distribuzione temperata.
O per dimostrarlo devo utilizzare la definizione e vedere se va a 0?
@Shika93
Anche a me pare che il tuo ragionamento usi che, se $x w\in\mathcal{S}'\Rightarrow w\in\mathcal{S}'$ (dove per te $w=e^{-|x|}(pv 1/x)$ - oltretutto sottintendi che $e^{-|x|}$ è una distribuzione temperata , cosa vera ma che andrebbe detta). Contrariamente a dissonance non sono sicuro che questa implicazione sia falsa (ma bisogna pensarci...). Un altro problema che mi balza agli occhi è che cosa sia il prodotto di $\varphi:=e^{-|x|}$ per una distribuzione - non essendo $\varphi$ una funzione $\mathcal{C}^\infty$ non mi pare che la cosa sia ovvia (per esempio puoi definire $\varphi\delta'$??).
@dissonance (a proposito ciao e buone feste..) Non ho capito il controesempio. Mi pare che $\delta$ sia una distribuzione temperata...
Ma forse mi manca qualche risultato standard sulle distribuzioni temperate (in particolare sul prodotto funzione-distribuzione)
Anche a me pare che il tuo ragionamento usi che, se $x w\in\mathcal{S}'\Rightarrow w\in\mathcal{S}'$ (dove per te $w=e^{-|x|}(pv 1/x)$ - oltretutto sottintendi che $e^{-|x|}$ è una distribuzione temperata , cosa vera ma che andrebbe detta). Contrariamente a dissonance non sono sicuro che questa implicazione sia falsa (ma bisogna pensarci...). Un altro problema che mi balza agli occhi è che cosa sia il prodotto di $\varphi:=e^{-|x|}$ per una distribuzione - non essendo $\varphi$ una funzione $\mathcal{C}^\infty$ non mi pare che la cosa sia ovvia (per esempio puoi definire $\varphi\delta'$??).
@dissonance (a proposito ciao e buone feste..) Non ho capito il controesempio. Mi pare che $\delta$ sia una distribuzione temperata...
Ma forse mi manca qualche risultato standard sulle distribuzioni temperate (in particolare sul prodotto funzione-distribuzione)
Ciao a tutti e scusatemi per avere detto una bestialità, ovviamente \(\delta\) è una distribuzione temperata. 
Non è una scusa, ma giusto per farci quattro risate aggiungo che non so come mi sia venuto in mente di collegarmi al forum il 25 dicembre dopo aver abbondantemente mangiato e bevuto in famiglia. (Anche il *remark* sull'inglese - - non voglio essere pesante).
In ogni caso, io per non sapere né leggere né tantomeno scrivere dimostrerei la cosa direttamente, per esempio, usando questa formula:
\[\begin{split}
\lim_{\epsilon\downarrow 0} \int_{|x|>\epsilon} \frac{e^{-|x|}}{|x|}\phi(x)\, dx
&= \lim_{\epsilon\downarrow 0} \int_{|x|>\epsilon} \log |x| \left( e^{-|x|}\phi(x)\right)'\, dx + \log \epsilon e^{-\epsilon}\left( \phi(\epsilon)-\phi(-\epsilon)\right)= \\&= \lim_{\epsilon\downarrow 0} \int_{|x|>\epsilon} \log |x| \left( e^{-|x|}\phi(x)\right)'\, dx
\end{split}\]
Qualunque sia la definizione di "distribuzione temperata" che uno deve verificare (con le seminorme o con le successioni), non penso sia difficile verificarla sull'ultimo membro di questa formula.
P.S. auguri di buone feste, caro VG!!! Un abbraccio!!!
Non è una scusa, ma giusto per farci quattro risate aggiungo che non so come mi sia venuto in mente di collegarmi al forum il 25 dicembre dopo aver abbondantemente mangiato e bevuto in famiglia. (Anche il *remark* sull'inglese - - non voglio essere pesante). In ogni caso, io per non sapere né leggere né tantomeno scrivere dimostrerei la cosa direttamente, per esempio, usando questa formula:
\[\begin{split}
\lim_{\epsilon\downarrow 0} \int_{|x|>\epsilon} \frac{e^{-|x|}}{|x|}\phi(x)\, dx
&= \lim_{\epsilon\downarrow 0} \int_{|x|>\epsilon} \log |x| \left( e^{-|x|}\phi(x)\right)'\, dx + \log \epsilon e^{-\epsilon}\left( \phi(\epsilon)-\phi(-\epsilon)\right)= \\&= \lim_{\epsilon\downarrow 0} \int_{|x|>\epsilon} \log |x| \left( e^{-|x|}\phi(x)\right)'\, dx
\end{split}\]
Qualunque sia la definizione di "distribuzione temperata" che uno deve verificare (con le seminorme o con le successioni), non penso sia difficile verificarla sull'ultimo membro di questa formula.
P.S. auguri di buone feste, caro VG!!! Un abbraccio!!!
Caro dissonance, in virtù di un'antica frequentazione, ti perdono volentieri per tutti i dubbi che mi hai fatto venire sull'efficienza dei miei rimanenti neuroni... 
Vi ringrazio ad entrambi, e buone feste!
La definizione di funzione temperata che è stata data a me è
$S'={T:S(\RR) \Rightarrow \RR (o \CC) lineare e continua}$
$S(\RR^n)={T\in D'(\RR):\overset{k\rightarrow +\infty}{\rightarrow} 0 in S(\RR^n)}$
Dato che il $pv 1/x$ è lineare e continuo, e ha una crescita polinomiale (è lo stesso grafico di y=1/x praticamente), a occhio, senza stare a dimostrarlo con la seconda definizione (andando a calcolare il limite dell'integrale), si dovrebbe riuscire, no?
Io nei miei appunti ho questi esempi di distribuzioni temperate:
1) tutti i polinomi $\in S'(\RR^n)$;
2) $\AA u \in D'(\RR^n)$ a supporto compatto;
3) tutte le distribuzioni periodiche (tipo il treno di impulsi);
4) $\AA L^{P}(\RR^n)$ (quindi Lipschitziane, Lebesgue-integrabili ecc)
5) $pv 1/x$. Immagino sia generalizzabile con $pv \alpha/x$, sia $\alpha \in RR$ che in $RR^n$ dato che si ritornerebbe al primo esempio.
$e^|x|$ è un polinomio, regolare, lineare e continuo e Lebesgue integrabile. O sbaglio?
La definizione di funzione temperata che è stata data a me è
$S'={T:S(\RR) \Rightarrow \RR (o \CC) lineare e continua}$
$S(\RR^n)={T\in D'(\RR):
Dato che il $pv 1/x$ è lineare e continuo, e ha una crescita polinomiale (è lo stesso grafico di y=1/x praticamente), a occhio, senza stare a dimostrarlo con la seconda definizione (andando a calcolare il limite dell'integrale), si dovrebbe riuscire, no?
Io nei miei appunti ho questi esempi di distribuzioni temperate:
1) tutti i polinomi $\in S'(\RR^n)$;
2) $\AA u \in D'(\RR^n)$ a supporto compatto;
3) tutte le distribuzioni periodiche (tipo il treno di impulsi);
4) $\AA L^{P}(\RR^n)$ (quindi Lipschitziane, Lebesgue-integrabili ecc)
5) $pv 1/x$. Immagino sia generalizzabile con $pv \alpha/x$, sia $\alpha \in RR$ che in $RR^n$ dato che si ritornerebbe al primo esempio.
$e^|x|$ è un polinomio, regolare, lineare e continuo e Lebesgue integrabile. O sbaglio?
"Shika93":
Dato che il $pv 1/x$ è lineare e continuo, e ha una crescita polinomiale (è lo stesso grafico di y=1/x praticamente), a occhio, senza stare a dimostrarlo con la seconda definizione (andando a calcolare il limite dell'integrale), si dovrebbe riuscire, no?
Ehhm... La frase scritta sopra mi sembra confondere la linearità della distribuzione $u:=pv 1/x$, che è una linearità rispetto a $\varphi\in\mathcal{S}'$ (cioè $
"Shika93":
$e^|x|$ è un polinomio, regolare, lineare e continuo e Lebesgue integrabile. O sbaglio?
Veramente $e^{-|x|}$ non è un polinomio e se con regolare intendi $\mathcal{C}^\infty$, allora non è regolare perché non è derivabile in $x=0$. Questo fatto pone anche il problema di dire cosa è la distribuzione $e^{-|x|}u$ - io so fare in modo standard solo il prodotto di una distribuzione $u$ per una funzione $\psi\in\mathcal{C}^\infty$ ($<\psi u,\varphi> =
E' vero che $e^{-|x|}$ ha andamento polinomiale (tende a zero all'infinito ed è anche Lebesgue integrabile).
Ma l'esercizio dava per buona l'esistenza di $e^{-|x|}pv 1/x$ ?
Non diceva niente l'esercizio. Solo dimostra e calcola.
Mah... più ci penso e meno mi sembra banale... Forse il trucco è l'uso della trasformata di Fourier.
Direi che a te serve una distribuzione $w\in\mathcal{S}'$ tale che $xw=e^{-|x|}$. Ammettiamo che $w$ esista e trasformiamo secondo Fourier:
\[
\mathcal{F}(xw)=\mathcal{F}(e^{-|x|})\Leftrightarrow i\hat w'(\omega)=\frac{2}{1+\omega^2}
\]
($\hat w=\mathcal{F}(w)$; mi pare che il tuo calcolo sia sbagliato - d'altra parte $e^{-|x|}$ è pari quindi la sua trasformata deve essere pari). Dunque
\[
\hat w(\omega)=-2i\ \mathrm{atan}(\omega)+c
\]
con $c$ costante. Dato che l'arcotangente è limitata essa è una distribuzione temperata e quindi posso antitrasformare
e dire che
\[
w(x)=-2i\mathcal{F}^{-1}(\mathrm{atan}(\omega))(x)+c\delta.
\]
A questo punto bisogna scegliere $c$ (questo succede anche se si cerca di definire con questo sistema il valore principale
di $1/x$ come una distribuzione $w$ tale che $xw=1$). Mi sembra ragionevole inserire la condizione che $\frac{e^{-|x|}}{x}$ sia dispari. Dato che l'arcotangente è dispari tale è la sua antitrasformata e quindi per selezionale una distribuzione dispari dobbiamo prendere $c=0$. In definitiva abbiamo trovato una distribuzione $w$ temperata (in quanto antitrasformata di una temperata), dispari e tale che $xw=e^{-|x|}$. Dunque $w$ la possiamo chiamare
$e^{-|x|}pv 1/x$ (io l'avrei chiamata $pv\frac{e^{-|x|}}{x}$...). Dai conti fatti risulta anche che
\[
\mathcal{F}(w)(\omega)=-2i\ \mathrm{atan}(\omega)
\]
HO FATTO I CONTI IN DIRETTA e quindi potrebbero esserci errori...
Direi che a te serve una distribuzione $w\in\mathcal{S}'$ tale che $xw=e^{-|x|}$. Ammettiamo che $w$ esista e trasformiamo secondo Fourier:
\[
\mathcal{F}(xw)=\mathcal{F}(e^{-|x|})\Leftrightarrow i\hat w'(\omega)=\frac{2}{1+\omega^2}
\]
($\hat w=\mathcal{F}(w)$; mi pare che il tuo calcolo sia sbagliato - d'altra parte $e^{-|x|}$ è pari quindi la sua trasformata deve essere pari). Dunque
\[
\hat w(\omega)=-2i\ \mathrm{atan}(\omega)+c
\]
con $c$ costante. Dato che l'arcotangente è limitata essa è una distribuzione temperata e quindi posso antitrasformare
e dire che
\[
w(x)=-2i\mathcal{F}^{-1}(\mathrm{atan}(\omega))(x)+c\delta.
\]
A questo punto bisogna scegliere $c$ (questo succede anche se si cerca di definire con questo sistema il valore principale
di $1/x$ come una distribuzione $w$ tale che $xw=1$). Mi sembra ragionevole inserire la condizione che $\frac{e^{-|x|}}{x}$ sia dispari. Dato che l'arcotangente è dispari tale è la sua antitrasformata e quindi per selezionale una distribuzione dispari dobbiamo prendere $c=0$. In definitiva abbiamo trovato una distribuzione $w$ temperata (in quanto antitrasformata di una temperata), dispari e tale che $xw=e^{-|x|}$. Dunque $w$ la possiamo chiamare
$e^{-|x|}pv 1/x$ (io l'avrei chiamata $pv\frac{e^{-|x|}}{x}$...). Dai conti fatti risulta anche che
\[
\mathcal{F}(w)(\omega)=-2i\ \mathrm{atan}(\omega)
\]
HO FATTO I CONTI IN DIRETTA e quindi potrebbero esserci errori...
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