Trasformata di Fourier Difficile

[moguri90]

salve a tutti
oggi studiando mi sono imbattuto in questo esercizio di difficile risoluzione:

Eseguire Trasformata e Serie di Fourier del prolungamento 2$\pi$ periodico della funzione:

xo(t) = $t^2$ - $pi^2$ + $sin^9$ t con t appartenente a [-$\pi$, $\pi$]

Io so trasformare agilmente

$t^2$ - $pi^2$

e so anche come arrivare ad una forma piu operativa di $sin^9$ t attraverso i coefficienti binomiali, e quindi facilmente trasformabili, ma il problema arriva adesso. Non avendo a disposizione una forma operativa, non riesco ad andare avanti nell'esercizio!

sareste cosi gentili da aiutarmi?
grazie in anticipo!

[moguri90]

proprio nessuno mi sa aiutare??
ho sbattuto la testa su questo esercizio per giorni e ancora non sono arrivato ad una soluzione :$

[gugo82]

Se proprio non trovi altre vie, sviluppa [tex]$\sin^9 t$[/tex] come potenza di binomio usando la formula del binomio di Newton e l'identità di Eulero [tex]$\sin t =\tfrac{1}{2\jmath}\ (e^{\jmath t}-e^{-\jmath t})$[/tex].
Sono solo conti.

[moguri90]

allora io sviluppo sin ^ 9 t come 1/256 ( 126 sin t - 85 sin 3t + ..... + sin 9t). A questo punto posso F - trasformare... però come?
non saprei andare avanti...

p.s. so che le immagini valgono piu di mille parole... magari posto una scannerizzazione dell'esercizio cosi vi faccio vedere dove mi blocco...

[gugo82]

A questo punto sfrutti la linearità, la relazione:

[tex]$\mathcal{F}[x(at)](\omega)=\frac{1}{|a|}\ \mathcal{F}[x(t)](\tfrac{\omega}{a})$[/tex]

e la trasformata nota del seno.

[moguri90]

aaaaarrrrggggghhhhh mi ero proprio dimenticato di quella proprietà!!
domani mattina svolgo l'esercizio e vi faccio sapere!
grazie mille della risposta! sei un amico

EDIT

ok sono finalmente riuscito ad ottenere la trasformata del segnale base. adesso riesco ad ottenere la trasformata del prolungamento moltiplicando per il treno di impulsi.
il problema che si presenta però adesso è questo: ho a disposizione termini molto eterogenei tra loro (somme di quozienti) quindi come faccio a trovare i termini della serie di fourier?

[gugo82]

Guarda che non c'è bisogno di fare altri conti per ottenere la serie di Fourier di [tex]$\sin^9 t$[/tex].
Infatti l'espressione [tex]$\tfrac{1}{256}\ ( 126 \sin t - 85 \sin 3t + \ldots + \sin 9t)$[/tex] è già la serie di Fourier di quella funzione.

Anzi, se la SdF vuoi in termini di esponenziali complessi, allora ti basta considerare lo sviluppo del binomio [tex]\left( \frac{e^{\jmath t} -e^{-\jmath t}}{2\jmath}\right)^9[/tex] in cui compaiono ancora gli esponenziali, cioè:

[tex]$\sin^9 t=\frac{1}{(2\jmath)^9}\sum_{n=0}^9 (-1)^n \binom{9}{n} e^{\jmath (9-n) t} e^{-\jmath nt}$[/tex]
[tex]$=\frac{\jmath}{512} \sum_{n=0}^9 (-1)^{n+1} \binom{9}{n} e^{\jmaht (9-2n) t}$[/tex]
[tex]$\stackrel{k=4-n}{=}\frac{\jmath}{512} \sum_{k=-5}^4 (-1)^{5-k} \binom{9}{4-k} e^{\jmath (2k+1)t}$[/tex].

[moguri90]

in pratica mi stai dicendo che lo sviluppo in serie di Fourier di $\sin^9 t$ lo tengo gia ed è $frac{1}{256}\ ( 126 \sin t - 85 \sin 3t + \ldots + \sin 9t)$.
A questo punto quindi non mi resta che sviluppare il polinomio $t^2 - pi ^ 2$ che ottengo immediatamente dalla F - Trasformata...
se è veramente cosi allora il titolo del topic non è molto appropriato (:
grazie ancora della risposta! mi hai aperto gli occhi!