Trasformata di Fourier di una gaussiana
Salve a tutti,
nella preparazione per l'esame di metodi matematici per l'ingegneria mi sono trovato a volte di fronte a problemi di questo tipo:
Calcolare l'antitrasformata di Fourier di $\X(omega)=e^(-omega^2)$.
Che si traduce nel calcolo di $\1/(2 pi) int_{-infty}^{+infty} e^(-omega^2) e^(j omega t) d omega$.
Ora, sapendo che $\int_{-infty}^{+infty} e^(-omega^2) d omega = sqrt(pi)$, ho provato ad effettuare questa sostituzione: $\x = omega sqrt ((jt)/omega -1)$ e quindi $\ dx = sqrt ((jt)/omega - 1) d omega$.
Mi ritrovo con $\1/(2 pi sqrt ((jt)/omega - 1)) int_{-infty}^{+infty} e^(-x^2) dx = sqrt (pi)/(2 pi sqrt ((jt)/omega - 1))$.
Credo di aver sbagliato la derivata, ma a parte quella, possono avere senso i miei passaggi, oppure ho commesso qualche errore (io e l'integrazione per sostituzione non ci vediamo da molto tempo
)?
nella preparazione per l'esame di metodi matematici per l'ingegneria mi sono trovato a volte di fronte a problemi di questo tipo:
Calcolare l'antitrasformata di Fourier di $\X(omega)=e^(-omega^2)$.
Che si traduce nel calcolo di $\1/(2 pi) int_{-infty}^{+infty} e^(-omega^2) e^(j omega t) d omega$.
Ora, sapendo che $\int_{-infty}^{+infty} e^(-omega^2) d omega = sqrt(pi)$, ho provato ad effettuare questa sostituzione: $\x = omega sqrt ((jt)/omega -1)$ e quindi $\ dx = sqrt ((jt)/omega - 1) d omega$.
Mi ritrovo con $\1/(2 pi sqrt ((jt)/omega - 1)) int_{-infty}^{+infty} e^(-x^2) dx = sqrt (pi)/(2 pi sqrt ((jt)/omega - 1))$.
Credo di aver sbagliato la derivata, ma a parte quella, possono avere senso i miei passaggi, oppure ho commesso qualche errore (io e l'integrazione per sostituzione non ci vediamo da molto tempo
)?
Risposte
Punto primo: la trasformata di Fourier della gaussiana è una gaussiana! Quindi il tuo risultato è errato!
Non ha molto senso quel cambio di variabile per ricondurti all'integrale della Gaussiana standard. Osserva che la funzione integranda risulta un'esponenziale con esponente
[tex]$-\omega^2+j\omega t=-(\omega^2-j\omega t+(-it/2)^2)+(-it/2)^2=-(\omega-it/2)^2-t^2/4$[/tex]
pertanto, ponendo $\omega-it/2=x$,\ $d\omega=dx$ puoi ricondurti al calcolo dell'integrale
[tex]$\frac{e^{-t^2/4}}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\ dx$[/tex]
P.S.: un metodo interessant eper determinare tale trasformata è il seguente: indichiamo con $\hat{u}(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\omega^2+j\omega t}\ d\omega$. Allora è facile vedere che
$\hat{u}'(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} j\omega\cdot e^{-\omega^2+j\omega t}\ d\omega$
da cui, integrando per parti
[tex]$\hat{u}'(t)=\frac{1}{2\pi}\left[-\frac{j}{2} e^{-\omega^2} e^{j\omega t}\big|_{-\infty}^{+\infty}+\frac{j}{2}\int_{-\infty}^{+\infty} jt e^{-\omega^2+j\omega t}\ d\omega\right]=-\frac{t}{2} \hat{u}(t)$[/tex]
in quanto il primo termine nell'integrazione per parti è limitato ed infinitesimo (infatti $|e^{-\omega^2+j\omega t}|=e^{-\omega^2}\to 0$ per $\omega\to\pm\infty$).
Pertanto la trasformate di Fourier soddisfa l'equazione differenziale
[tex]$\hat{u}'(t)-\frac{t}{2} \hat{u}(t)$[/tex]
la cui soluzione è [tex]$\hat{u}(t)=C\cdot e^{-t^2/4}$[/tex]. Per determinare il valore della costante $C$ basta osservare che se $t=0$ allora
[tex]$C=\hat{u}(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\omega^2}\ d\omega=\frac{\sqrt{\pi}}{2\pi}=\frac{1}{\sqrt{4\pi}}$[/tex]
e quindi la trasforma della gaussiana [tex]$\hat{u}(t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\ e^{-t^2/4}$[/tex]
Non ha molto senso quel cambio di variabile per ricondurti all'integrale della Gaussiana standard. Osserva che la funzione integranda risulta un'esponenziale con esponente
[tex]$-\omega^2+j\omega t=-(\omega^2-j\omega t+(-it/2)^2)+(-it/2)^2=-(\omega-it/2)^2-t^2/4$[/tex]
pertanto, ponendo $\omega-it/2=x$,\ $d\omega=dx$ puoi ricondurti al calcolo dell'integrale
[tex]$\frac{e^{-t^2/4}}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\ dx$[/tex]
P.S.: un metodo interessant eper determinare tale trasformata è il seguente: indichiamo con $\hat{u}(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\omega^2+j\omega t}\ d\omega$. Allora è facile vedere che
$\hat{u}'(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} j\omega\cdot e^{-\omega^2+j\omega t}\ d\omega$
da cui, integrando per parti
[tex]$\hat{u}'(t)=\frac{1}{2\pi}\left[-\frac{j}{2} e^{-\omega^2} e^{j\omega t}\big|_{-\infty}^{+\infty}+\frac{j}{2}\int_{-\infty}^{+\infty} jt e^{-\omega^2+j\omega t}\ d\omega\right]=-\frac{t}{2} \hat{u}(t)$[/tex]
in quanto il primo termine nell'integrazione per parti è limitato ed infinitesimo (infatti $|e^{-\omega^2+j\omega t}|=e^{-\omega^2}\to 0$ per $\omega\to\pm\infty$).
Pertanto la trasformate di Fourier soddisfa l'equazione differenziale
[tex]$\hat{u}'(t)-\frac{t}{2} \hat{u}(t)$[/tex]
la cui soluzione è [tex]$\hat{u}(t)=C\cdot e^{-t^2/4}$[/tex]. Per determinare il valore della costante $C$ basta osservare che se $t=0$ allora
[tex]$C=\hat{u}(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\omega^2}\ d\omega=\frac{\sqrt{\pi}}{2\pi}=\frac{1}{\sqrt{4\pi}}$[/tex]
e quindi la trasforma della gaussiana [tex]$\hat{u}(t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\ e^{-t^2/4}$[/tex]
Grazie mille, la tua risposta è stata veramente esaustiva!
Ora che ho chiaro il metodo di risoluzione dovrei riuscire a fare anche gli altri esercizi simili a questo.
Ora che ho chiaro il metodo di risoluzione dovrei riuscire a fare anche gli altri esercizi simili a questo.
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