Trasformata di Fourier di...
Ragazzi, salve, volevo fare una domanda, sulla quale in effetti non ho molti dubbi...ma è bene chiarire:
Consideriamo la seguente funzione:
$"tr"(x) = \{(1 - |x|, ", per " |x| < 1),(0, ", altrove"):}
Consiederiamo ora il seguente segnale (che è na funzione ovviamente, ma la domanda è prettamente matematica anche se mi serve per teoria dei segnali)
se io considero $\sum_(n=-oo)^(+oo) (-1)^n/(2^|n|)*"tr"(t-2n)$ che è quadrato sommabile (o almeno a me è venuta così confrontandola con un maggiorante quadrato sommabile), posso trovare la trasformata del segnale secondo Fourier? nel ricavare la formula generale della trasformata io considero prima segnali quadrato sommabili e a supporto limitato per poi estendere il supporto a tutto l'asse reale in tal modo si può ricavare la trasformata del segnale in generale. Ora vi chiedo il segnale che vi ho postato lo posso trasformare senza problemi? qual'ora la risposta fosse no che contraddizioni andrei a incontrare se provassi a trasformarlo?
Consideriamo la seguente funzione:
$"tr"(x) = \{(1 - |x|, ", per " |x| < 1),(0, ", altrove"):}
Consiederiamo ora il seguente segnale (che è na funzione ovviamente, ma la domanda è prettamente matematica anche se mi serve per teoria dei segnali)
se io considero $\sum_(n=-oo)^(+oo) (-1)^n/(2^|n|)*"tr"(t-2n)$ che è quadrato sommabile (o almeno a me è venuta così confrontandola con un maggiorante quadrato sommabile), posso trovare la trasformata del segnale secondo Fourier? nel ricavare la formula generale della trasformata io considero prima segnali quadrato sommabili e a supporto limitato per poi estendere il supporto a tutto l'asse reale in tal modo si può ricavare la trasformata del segnale in generale. Ora vi chiedo il segnale che vi ho postato lo posso trasformare senza problemi? qual'ora la risposta fosse no che contraddizioni andrei a incontrare se provassi a trasformarlo?
Risposte
intendi $f(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} ((-1)^n)/(2^{|n|}) tr(t - 2n)$?
Se sì, allora la funzione è quadrato sommabile, ma anche semplicemente sommabile, infatti i vari $tr$ hanno supporti disgiunti tra loro:
$|f(t)| = |\sum_{n=-\infty}^{+\infty} ((-1)^n)/(2^{|n|}) tr(t - 2n)| \le \sum_{n=-\infty}^{+\infty} 1/2^{|n|} tr(t - 2n) \le \sum_{n=-\infty}^{+\infty} 1/2^{|n|} \chi_{[-1+2n, 2n +1]}$
Quindi integrando ad entrambi i lati si ha
$\int_{RR} |f(t)| dt \le \int_{RR} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} 1/2^{|n|} \chi_{[-1+2n, 2n +1]} = 2\sum_{n=-\infty}^{+\infty} 1/2^{|n|} < +\infty$
In modo analogo si vede che
$\int_{RR} |f(t)|^2 dt \le \int_{RR} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} 1/2^{2|n|} \chi_{[-1+2n, 2n +1]} = 2\sum_{n=-\infty}^{+\infty} 1/4^{|n|} < +\infty$
Essendo semplicemente sommabile, cioè essendo una funzione $L^1$ è ben definita la trasformata di fourier classica, inoltre essendo anche $L^2$ (quadrato sommabile) per il teorema di Plancherel la sua trasformata è una funzione $L^2$.
Se sì, allora la funzione è quadrato sommabile, ma anche semplicemente sommabile, infatti i vari $tr$ hanno supporti disgiunti tra loro:
$|f(t)| = |\sum_{n=-\infty}^{+\infty} ((-1)^n)/(2^{|n|}) tr(t - 2n)| \le \sum_{n=-\infty}^{+\infty} 1/2^{|n|} tr(t - 2n) \le \sum_{n=-\infty}^{+\infty} 1/2^{|n|} \chi_{[-1+2n, 2n +1]}$
Quindi integrando ad entrambi i lati si ha
$\int_{RR} |f(t)| dt \le \int_{RR} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} 1/2^{|n|} \chi_{[-1+2n, 2n +1]} = 2\sum_{n=-\infty}^{+\infty} 1/2^{|n|} < +\infty$
In modo analogo si vede che
$\int_{RR} |f(t)|^2 dt \le \int_{RR} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} 1/2^{2|n|} \chi_{[-1+2n, 2n +1]} = 2\sum_{n=-\infty}^{+\infty} 1/4^{|n|} < +\infty$
Essendo semplicemente sommabile, cioè essendo una funzione $L^1$ è ben definita la trasformata di fourier classica, inoltre essendo anche $L^2$ (quadrato sommabile) per il teorema di Plancherel la sua trasformata è una funzione $L^2$.
[mod="Gugo82"]Mi sono permesso di modificare le formule presenti nel testo.
Su questo forum si usa MathML per scrivere le formule: il linguaggio è semplice e per imparare puoi vedere qui.[/mod]
Su questo forum si usa MathML per scrivere le formule: il linguaggio è semplice e per imparare puoi vedere qui.[/mod]
Perfetto hai provato la sua sommabilità nello stesso modo in cui l'ho provata io, ok ti ringrazio
Un'ultima cosa...se qualkuno di voi sa, o vuole perdere un pò di tempo può dirmi se la trasformata finale è
$sum_{n=-infty}^(+infty) frac{(-1)^n}{2^|n|}e^(-j2pifn) frac{-1}{4pi^2f^2}$
$sum_{n=-infty}^(+infty) frac{(-1)^n}{2^|n|}e^(-j2pifn) frac{-1}{4pi^2f^2}$
Io direi che è $\sum_{n=-\infty}^{+\infty} (-1)^n / 2^{|n|} sinc^2(f) e^{-j2\pi f 2n}$ dove $sinc(f) = sin(\pi f)/(\pi f)$
"Ska":
Io direi che è $\sum_{n=-\infty}^{+\infty} (-1)^n / 2^{|n|} sinc^2(f) e^{-j2\pi f 2n}$ dove $sinc(f) = sin(\pi f)/(\pi f)$
Mi è sfuggito un seno...ma dove?
Allora.... per calcolare la trasformata applicando la definizione si deve calcolare $\int_{RR} (\sum_{n=-\infty}^{+\infty}(-1)^n / 2^{|n|} tr(t-2n)) e^{-j2\pi f t}dt$, abbiamo detto che il segnale è composto da tanti $tr$ traslati e scalati, con tutti i supporti disgiunti tra $tr$ adiacenti, quindi applicando l'additività dell'integrale possiamo scrivere la trasformata come $\sum_{n=-\infty}^{+\infty} (-1)^n / 2^{|n|} \int_{RR} tr(t-2n) e^{-j2\pi f t} dt = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} (-1)^n / 2^{|n|} \int_{RR} tr(z) e^{-j2\pi f (z+2n)} dz = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} (-1)^n / 2^{|n|} e^{-j2\pi f 2n}\int_{RR} tr(z) e^{-j2\pi f z} dz = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} (-1)^n / 2^{|n|} e^{-j2\pi f 2n} \mathcal{F}[tr(t)](f)$
Ora $\mathcal{F}[tr(t)](f) = sinc^2(f) = (sin^2(\pi f)) / (\pi^2 f^2)$
Si può vedere velocemente (si calcola anche con la definizione) sfruttando il fatto che $tr(t) = rect(t) \star rect(t)$ con $rect(t) = {(1,text{per }|t| < 1/2), (1/2,text{per }t=\pm 1/2), (0,\text{altrove}):}$.
Applicando il teorema di convoluzione si ha che $\mathcal{F}[tr(t)](f) = \mathcal{F}[rect(t)](f)*\mathcal{F}[rect(t)](f)$ e $\mathcal{F}[rect(t)](f) = sinc(f) = (sin(\pi f)) / (\pi f)$
Si dimostra facilmente applicando la definizione $\int_{RR} rect(t) e^{-j 2\pi f t} dt = \int_{-1/2}^{1/2} 1*e^{-j 2\pi f t} dt = 2\int_{0}^{1/2} cos(2\pi f t) dt = 2[(sin(2\pi f t)) /(2 \pi f) ]_0^{1/2} = (sin(\pi f)) / (\pi f)$
Oppure basta vedere che $f(t)$ si può scrivere come $tr(t) \star \sum_{n=-\infty}^{+\infty} (-1)^n / 2^{|n|} \delta{t -2n}$ e applicare qui il teorema di convoluzione (applicabile in quanto $tr(t)$ è a supporto compatto e $\sum_{n=-\infty}^{+\infty} (-1)^n / 2^{|n|} \delta{t -2n}$ distribuzione temperata)
Ora $\mathcal{F}[tr(t)](f) = sinc^2(f) = (sin^2(\pi f)) / (\pi^2 f^2)$
Si può vedere velocemente (si calcola anche con la definizione) sfruttando il fatto che $tr(t) = rect(t) \star rect(t)$ con $rect(t) = {(1,text{per }|t| < 1/2), (1/2,text{per }t=\pm 1/2), (0,\text{altrove}):}$.
Applicando il teorema di convoluzione si ha che $\mathcal{F}[tr(t)](f) = \mathcal{F}[rect(t)](f)*\mathcal{F}[rect(t)](f)$ e $\mathcal{F}[rect(t)](f) = sinc(f) = (sin(\pi f)) / (\pi f)$
Si dimostra facilmente applicando la definizione $\int_{RR} rect(t) e^{-j 2\pi f t} dt = \int_{-1/2}^{1/2} 1*e^{-j 2\pi f t} dt = 2\int_{0}^{1/2} cos(2\pi f t) dt = 2[(sin(2\pi f t)) /(2 \pi f) ]_0^{1/2} = (sin(\pi f)) / (\pi f)$
Oppure basta vedere che $f(t)$ si può scrivere come $tr(t) \star \sum_{n=-\infty}^{+\infty} (-1)^n / 2^{|n|} \delta{t -2n}$ e applicare qui il teorema di convoluzione (applicabile in quanto $tr(t)$ è a supporto compatto e $\sum_{n=-\infty}^{+\infty} (-1)^n / 2^{|n|} \delta{t -2n}$ distribuzione temperata)
Bhe tieni conto che ho iniziato in pratica da qualke giorno a esercitarmi sulla trasformata di fourier, più tardi proverò a rifare la trasformata del segnale che ho postato.
Intanto, anche se ancora non mi sono esercitato sul teorema di convoluzione, visto che l'hai tirata fuori, volevo fare una domanda (questo perchè non l'ho mai applicato non per altro quindi magari perdona la mia ignoranza sull'argomento, ma cmq. Allora supponiamo io abbia il seguente segnale:
$s(t) = (e^(-t+2))rect(t-3)$
Voglio calcolarmi la trasformata di questo segnale cioè qui posso applicare tranquillamente la convoluzione? magari operando prima un cambio di variabile per riportare i segnali a come li espone il teorema (del tipo t-tau). Nel caso delle tue due rect suppongo tu "mentalmente" hai considerato un tau = 0, sbaglio?
Ripeto la domanda nasce perchè è l'argomento che ora dovrei vedere, e applicare ovviamente
Intanto, anche se ancora non mi sono esercitato sul teorema di convoluzione, visto che l'hai tirata fuori, volevo fare una domanda (questo perchè non l'ho mai applicato non per altro quindi magari perdona la mia ignoranza sull'argomento, ma cmq. Allora supponiamo io abbia il seguente segnale:
$s(t) = (e^(-t+2))rect(t-3)$
Voglio calcolarmi la trasformata di questo segnale cioè qui posso applicare tranquillamente la convoluzione? magari operando prima un cambio di variabile per riportare i segnali a come li espone il teorema (del tipo t-tau). Nel caso delle tue due rect suppongo tu "mentalmente" hai considerato un tau = 0, sbaglio?
Ripeto la domanda nasce perchè è l'argomento che ora dovrei vedere, e applicare ovviamente
..... sinceramente non ho capito la domanda.... per calcolare la trasformata di quel segnale non serve assolutamente la convoluzione....
Il teorema che ho citato in precedenza è relativo alla trasformata di fourier di una convoluzione.
Per quanto riguarda i due rect... ho detto che $tr(t) = rect(t)\star rect(t) = \int_{RR} rect(\tau)rect(t-\tau) d\tau$. $\tau$ è la variabile di integrazione, il risultato è una funzione in $t$ che rispetto all'integrale è solo un parametro.
La convoluzione tra due segnali $u, v$ è definita come $(u\star v)(t) = \int_{RR} u(\tau) v(t-\tau) d\tau$, ovviamente $u, v$ non possono essere arbitrarie, devo avere certe proprietà per dare senso all'integrale.
Inoltre per particolari combinazioni di tipologie di $u,v$ si ha che $\mathcal{F}[(u\star v)(t)](f) = \mathcal{F}[u(t)](f) * \mathcal{F}[v(t)](f)$.
Il teorema che ho citato in precedenza è relativo alla trasformata di fourier di una convoluzione.
Per quanto riguarda i due rect... ho detto che $tr(t) = rect(t)\star rect(t) = \int_{RR} rect(\tau)rect(t-\tau) d\tau$. $\tau$ è la variabile di integrazione, il risultato è una funzione in $t$ che rispetto all'integrale è solo un parametro.
La convoluzione tra due segnali $u, v$ è definita come $(u\star v)(t) = \int_{RR} u(\tau) v(t-\tau) d\tau$, ovviamente $u, v$ non possono essere arbitrarie, devo avere certe proprietà per dare senso all'integrale.
Inoltre per particolari combinazioni di tipologie di $u,v$ si ha che $\mathcal{F}[(u\star v)(t)](f) = \mathcal{F}[u(t)](f) * \mathcal{F}[v(t)](f)$.
hmmmmmmm penso di aver capito...in sostanza la $tr(t)$ nasce dalla convoluzione di due rect, in effetti ora che sto riguardando i miei appunti questo integrale di convoluzione era stato fatto dal mio docente a lezione, ed era stato trovato il risultato che è la definizione di $tr(t)$. Per cui la trasformata di Fourier di $tr(t)$ è la trasformata della convoluzione delle due rect che sappiamo è il prodotto delle trasformate. Cioè alla fine la cosa che tu hai fatto è stato ricorrere alla definizione della $tr(t)$ per "semplificarti i calcoli" diciamo. Ma non hai applicato il teorema di convoluzione per trovarti la trasformata. Cioè.... ho capito, di aver fatto un'errore concettuale sul discorso in questione. Bhe riguardo il seno che mi era saltato diciamo, cosa ovvia a sto punto che ci doveva essere, è dovuto sicuramente a qualke passaggio che mi sarà sfuggito, perchè io ho calcolato tutto secondo la definizione cioè non mi sono attenzionato sulla definizione mediante la convoluzione della $tr(t)$.
Utilizzando la definizione $\int_{RR} tr(t) e^{-j 2\pi ft} dt = 2\int_{0}^1 (1-t) cos(2\pi f t) dt = 2{[(1-t) (sin(2\pi f t))/(2\pi f)]_0^1 - \int_RR (-sin(2\pi f t) / (2\pi f)) dt} = 2[(- cos(2\pi f t)) / (4\pi^2 f^2)]_0^1 = (1 - cos(2\pi f))/(2\pi^2 f^2) = (sin^2(\pi f)) / (\pi f)^2$
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