Trasformata di fourier del prolungamento periodo (difficile)

[mazzy89-votailprof]

avrei quest'esercizio da risolvere (ti prego Gugo pensaci tu)

determinare la trasformata di fourier del prolungamento periodico a $(-oo,oo)$ di periodo $2$ della funzione $2t-|t|$ con $t in (-1,1)$

io ho impostato l'esercizio nel seguente modo

mi sono disegnato la funzione e vedo subito che il periodo $2$. a questo punto per la teoria sulle trasformata di fourier so che la trasformata di fourier $F(f)=sum_(n=-oo)^(+oo) c_n(delta_(n/2))$

dove
$c_n=(1/2)int_0^1te^(-2pint)dt$

per comodità e per facilità ho scelto l'intervallo $(0,1)$

è corretto come ragionamento?adesso non resta che calcolarmi i termini $c_n$ risolvendo prima l'integrale.esatto?

[dissonance]

Io non sono Gugo, non lo so se vado bene lo stesso. Come farei io: in primo luogo sviluppiamo in serie di Fourier di periodo fondamentale $2$:

$f(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{i pi n t},\ t \in RR$

dove $c_n=1/2\int_{-1}^1(2tau-|tau|)e^{-ipi n tau}d\tau$. Quindi trasformiamo termine a termine, e qui dipende dalla definizione di trasformata che adotti tu quanto valga $ccF(e^{i pi nt})$. Sarà comunque una delta di Dirac, a meno di una costante.

[mazzy89-votailprof]

"dissonance":Io non sono Gugo, non lo so se vado bene lo stesso. Come farei io: in primo luogo sviluppiamo in serie di Fourier di periodo fondamentale $2$:

$f(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{i pi n t},\ t \in RR$

dove $c_n=1/2\int_{-1}^1(2tau-|tau|)e^{-ipi n tau}d\tau$. Quindi trasformiamo termine a termine, e qui dipende dalla definizione di trasformata che adotti tu quanto valga $ccF(e^{i pi nt})$. Sarà comunque una delta di Dirac, a meno di una costante.

ma che scherzi!!! certo che vai bene.allora $c_n=1/2\int_{-1}^1(2tau-|tau|)e^{-ipi n tau}d\tau$. a questo punto non capisco esattamente cosa intendi dire quando ti riferisci a trasformiamo termine a termine.potresti spiegarmi?

[dissonance]

Voglio dire che

$ccF(f)(omega)=sum_{n=-infty}^infty c_nccF(e^{i pi n t})(omega)$

[mazzy89-votailprof]

"dissonance":Voglio dire che

$ccF(f)(omega)=sum_{n=-infty}^infty c_nccF(e^{i pi n t})(omega)$

o dio ma continuo a non capire dove devo andare a parare.quello che a me interessa è il calcolo dei $c_n$ oppure di $ccF(e^{i pi n t})(omega)$?c

[dissonance]

Devi calcolarli tutti e due, ma non è una cosa poi tanto difficile: i $c_n$ sono numeri ottenuti calcolando un integrale e la trasformata dell'esponenziale è una trasformata notevole che non devi ricalcolare ogni volta.

[gugo82]

Voglio stupirvi con effetti speciali...

Il segnale (i matematici perdonino questo gergo "ingegneristico" spurio) che stai trasformando è la replica periodica di periodo [tex]$T=2$[/tex] del segnale di base [tex]$x_0(t):=2t-|t|$[/tex] definito in [tex]$[-1,1[$[/tex]; disegnando si vede che il segnale [tex]$x_0 (t)$[/tex] ha un grafico del genere:
[asvg]xmin=-2;xmax=2;ymin=-3;ymax=1;
axes("","");
stroke="red"; plot("2*x-abs(x)",-1,1);[/asvg]
e da ciò si trae immediatamente che la sua derivata prima distribuzionale è:

[tex]$x_0^\prime (t)=-3\delta (t+1) + 3[u(t+1)-u(t)]+[u(t)-u(t-1)]-\delta (t-1)$[/tex]

(i calcoli li puoi fare anche formalmente sfruttando la rappresentazione [tex]$x_0(t)=3t\ [u(t+1)-u(t)]+t\ [u(t)-u(t-1)]$[/tex]), in cui [tex]$u(\cdot)$[/tex] è il gradino unitario; visto che la derivata prima di [tex]$x_0(t)$[/tex] non contiene solo impulsi, deriviamo una seconda volta:

(*) [tex]$x_0^{\prime \prime} (t)=-3\delta^\prime (t+1) -\delta^\prime (t-1)+3\delta (t+1)-2\delta (t) -\delta (t-1)$[/tex].

La derivata seconda distribuzionale di [tex]$x_0(t)$[/tex] contiene solo impulsi, quindi la sua trasformata di Fourier distribuzionale si determina facilmente; visto che [tex]$\mathcal{F}[x_0^{\prime \prime}] =(\jmath \omega)^2\ \mathcal{F}[x_0]$[/tex] (almeno nella normalizzazione della trasformata che uso di solito...), da quanto trovato in precedenza è facile ricavare la trasformata di Fourier distribuzionale di [tex]$x_0(t)$[/tex], che denoto con [tex]$X_0(\omega)$[/tex]: in particolare si ha:

(**) [tex]$X_0(\omega)=-\frac{1}{\omega^2}\ \mathcal{F}[x_0^{\prime \prime}]$[/tex],

col secondo membro da calcolare usando la (*), le trasformate notevoli e le proprietà di [tex]$\mathcal{F}$[/tex] (proprietà di traslazione e di derivazione, nel caso).

Nota bene: la [tex]$x_0(t)$[/tex], se buttata a zero fuori da [tex]$[-1,1[$[/tex], è un segnale limitato a supporto compatto, quindi è in [tex]$L^1(\mathbb{R})$[/tex]; ciò implica che la trasformata di Fourier distribuzionale [tex]$X_0(\omega)$[/tex] è in realtà una trasformata classica (nel senso di [tex]$L^1$[/tex]) e, pertanto, ha da essere continua in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] ed infinitesima all'infinito (per il lemma di Riemann-Lebesgue). Di conseguenza, tutte le discontinuità che sembrano uscire fuori dall'espressione esplicita di [tex]$X_0(\omega)$[/tex] trovata con la (**) sono necessariamente tutte discontinuità eliminabili.

Ora, il teorema di campionamento ti dice che è possibile ottenere la trasformata di Fourier di tutto il segnale periodico [tex]$x(t)$[/tex] semplicemente moltiplicando delle [tex]$\delta (\omega)$[/tex] traslate per alcuni valori particolari di [tex]$X_0(\omega)$[/tex]: in particolare hai:

[tex]$X(\omega) =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} X_0(n\omega_0)\ \delta (\omega -n\omega_0)$[/tex],

in cui [tex]$\omega_0:=\tfrac{2\pi}{T}$[/tex].

Ovviamente la [tex]$X_0(\omega)$[/tex] può essere non definita in qualche punto del tipo [tex]$n\omega_0$[/tex]; tuttavia, come notato in precedenza, i punti di discontinuità devono essere eliminabili. Quindi, nei casi problematici, puoi andare a calcolare il limite [tex]$\lim_{\omega \to n\omega_0} X_0(\omega)$[/tex] oppure puoi sempre tener presente che (per definizione di trasformata classica) [tex]$X_0(n\omega_0)=\int_{-1}^1 x_0(t)e^{-\jmath n\omega_0 t}\ \text{d} t$[/tex] e fare un conto esplicito dell'integrale.

***

EDIT: Ho aggiunto un paio di chiarimenti su un punto che poteva sembrare oscuro.

[mazzy89-votailprof]

"dissonance":Devi calcolarli tutti e due, ma non è una cosa poi tanto difficile: i $c_n$ sono numeri ottenuti calcolando un integrale e la trasformata dell'esponenziale è una trasformata notevole che non devi ricalcolare ogni volta.

allora ecco arrivato sulla scena gugo.a te dissonance ti ho capito esattamente cosa vuoi dire a gugo un pò di meno ma quello dipende dalla velocità di calcolo del mio cervello che in queste ore della notte diminuisce esponenzialmente quindi mi sederò buono buono e leggerò le perle di saggezza di gugo

[dissonance]

Nel dubbio consulta Gugo che se ne intende molto più di me... io purtroppo a fare i calcoli non sono proprio abituato. Per esempio avrai notato che continuo a non scrivere quanto vale $ccF(e^{i pi n t})(omega)$: è perché non lo so! Cioè, è una delta di Dirac di sicuro, ma concentrata dove e con quale ampiezza non ti so dire.

[gugo82]

@mazzy89: In verità a me quello di dissonance sembra un contributo interessante, anche se procede in senso inverso a quello in cui procedo io.

Fondamentalmente dissonance propone di calcolare la s.d.F. di [tex]$x_0(t)$[/tex] e poi passare alla t.d.F. semplicemente trasformando t.a.t. la s.d.F.; d'altra parte, io calcolo direttamente la t.d.F. distribuzionale (col teorema di campionamento, che probabilmente dissonance non ha studiato ancora) e poi, casomai, posso calcolare la s.d.F. antritrasformando t.a.t. la t.d.F.

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Glossario:

t.a.t. - termine a termine;

s.d.F. - serie di Fourier;

t.d.F. - trasformata di Fourier.

[Se no poi dicono che abbrevio troppo... ]

[mazzy89-votailprof]

"gugo82":@mazzy89: In verità a me quello di dissonance sembra un contributo interessante, anche se procede in senso inverso a quello in cui procedo io.

Fondamentalmente dissonance propone di calcolare la s.d.F. di [tex]$x_0(t)$[/tex] e poi passare alla trasformata semplicemente trasformando t.a.t. la s.d.F.; d'altra parte, io calcolo direttamente la t.d.F. distribuzionale (col teorema di campionamento, che probabilmente dissonance non ha studiato ancora) e poi, casomai, posso calcolare la s.d.F. antritrasformando t.a.t. la t.d.F.

be gugo rispetto tantissimo l'aiuto che mi hai dato e mi inchino davanti alla tua immensa saggezza cavolo.sei un pozzo di scienza.seppure il tuo ragionamento mi faccia capire molte cose ma non è esattamente quello che vorrebbe il prof vedere scritto.mentre la strada di dissonance è proprio quella che mi porta a risolvere l'esercizio secondo i dettami del mio prof