Trasformata di Fourier (condizioni di esistenza?)
Ciao 
Qualcuno potrebbe darci una mano con questo esercizio, per favore? Non abbiamo proprio chiaro che procedimento seguire in questo caso o in casi simili... Grazie!
Discutere per quali n $in ZZ$ é definita la trasformata di Fourier della funzione seguente,anche come distribuzione.
$ f(x) ={ x^n * e^(i*\pi*x) } / {x^2 + 4} $
Noi sappiamo che la TF é definita quando vale $ f(x) = o (g(x)) $ e quindi abbiamo provato a risolvere il limite $ lim_(x->oo)f(x) = 0 $. Abbiamo ottenuto che quindi la funzione ammette TF se $ n<=1 $ e non la ammette per n>1... ma é sbagliato.
Qualcuno potrebbe darci una mano con questo esercizio, per favore? Non abbiamo proprio chiaro che procedimento seguire in questo caso o in casi simili... Grazie!
Discutere per quali n $in ZZ$ é definita la trasformata di Fourier della funzione seguente,anche come distribuzione.
$ f(x) ={ x^n * e^(i*\pi*x) } / {x^2 + 4} $
Noi sappiamo che la TF é definita quando vale $ f(x) = o (g(x)) $ e quindi abbiamo provato a risolvere il limite $ lim_(x->oo)f(x) = 0 $. Abbiamo ottenuto che quindi la funzione ammette TF se $ n<=1 $ e non la ammette per n>1... ma é sbagliato.
Risposte
E certo che è sbagliato. Il problema numero uno è che la cosa da trasformare deve essere localmente integrabile, altrimenti non ha senso neanche come distribuzione. Quindi dovete escludere la possibile singolarità in $0$ data da $x^n$ con $n$ negativo. E poi occorre che la cosa da trasformare sia una distribuzione temperata, il che in pratica equivale a verificare che la crescita ad infinito sia al più polinomiale.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo