Trasformata di Fourier con modulo

[v1nc3nzo1]

\( \chi (t)= (exp (|t|)-exp(-|t|))[u(t+1)-u(t-1)] \)
come faccio la trasformata di fourier di questo segnale?

[Quinzio]

Nel mio formulario (e presumo anche nel tuo) c'è scritto che $F(H(t)e^(-at))(\nu) = 1/(a+2\pi i \nu)$.
$H(t),\ u(t)$ sono la stessa cosa.
Ora,

$ \chi (t)= (e^(|t|)-e^(-|t|))[u(t+1)-u(t-1)] $
$ = (e^ (|t|)-e^(-|t|))[u(t+1)+u(t)-u(t)-u(t-1)] $
$ = (e^ (|t|)-e^(-|t|))[u(t+1)-u(t)]+(e^ (|t|)-e^(-|t|))[u(t)-u(t-1)] $
$ = (e^ (-t)-e^t)[u(t+1)-u(t)]+(e^ t-e^(-t))[u(t)-u(t-1)] $
$ = (e^t-e^(-t))[2u(t)-u(t-1)-u(t+1)] $
$ = (e^t-e^(-t))[2u(t)] - (e\ e^(t-1)-1/e e^(-(t-1))) [u(t-1)]- (1/e e^(t+1)-e\ e^(-(t+1))) [u(t+1)] $

Sfruttando la proprietà

$F(g(t-t_0))(\nu))=e^(-2\pi i \t_0 \nu)F(g(t))$

si ottiene

$F(\chi (t))(\nu) = [2-e/ e^(-2\pi i \nu)-e^(2\pi i \nu)/e] [F(e^t u(t))(\nu)-F(e^(-t) u(t))(\nu) ] $
$= [2-e/ e^(2\pi i \nu)-e^(2\pi i \nu)/e] (-2/(4(\pi \nu)^2 +1))$

Se non ho sbagliato qualcosa nei calcoli e nei passaggi, il risultato è questo.

[v1nc3nzo1]

hai scomposto $ e^|t| $ considerandolo negativo prima di $ u(t) $ e positivo dopo $ u(t) $.
e quindi hai fatto : $ (e^(−t)−e^t)[u(t+1)−u(t)] $ (sarebbe la parte in cui il modulo è negativo) e poi lo hai sommato a $ (e^t−e^(−t))[u(t)−u(t−1)] $ (dovrebbe essere la parte in cui il modulo è positivo). Ho detto bene?

Potresti linkarmi un buon formulario?
Ho anche un'altro esercizio che non so come impostare, potresti aiutarmi a impostarlo e poi provo io a risolverlo.