Trasformata di Fourier col metodo dei residui

[Momoko1]

Ciao a tutti!
Ho un problema con gli esercizi sulle trasformate di Fourier quando ci sono di mezzo seni e coseni.
Non riesco a capire la suddivisione dei vari casi...
Esempio:
Ho questa funzione, di cui devo calcolarne la TF.
$ f(x) = sin(x)/ (x(x^2 + 4 )) $
Che equivale a dire:
$ f(x) = (e^(ix) - e^(-ix))/(2ix(x-2i)(x+2i) $
A questo punto applico la TF e diventa così:
$ F(k) = 1/sqrt(2pi)int_(-oo )^(oo ) e^(-ikx) (e^(ix) - e^(-ix))/(2ix(x-2i)(x+2i))dx $
Che equivale a:
$ F(k) = 1/(2isqrt(2pi))int_(-oo )^(oo ) (e^(-ix(k-1)) - e^(-ix(k+1)))/(x(x-2i)(x+2i))dx $

Ora sorgono i miei problemi :/
Devo analizzare k...
Io arrivo a dire che:
Se $ k <-1 $, sia la $ (e^(-ix(k-1)))/(x(x-2i)(x+2i) $ che la $ (- e^(-ix(k+1)))/(x(x-2i)(x+2i) $, chiudono da sopra.
Se $ k > +1 $, chiudono entrambe da sotto.
Se $ |k| < 1 $, la $ (e^(-ix(k-1)))/(x(x-2i)(x+2i) $ chiude da sopra e la $ (- e^(-ix(k+1)))/(x(x-2i)(x+2i) $ chiude da sotto.

Qui mi blocco
Devo calcolare i residui per tutte le situazioni o ce n'è qualcuna da scartare? Non so proprio come andare avanti...anche perchè, guardando le soluzioni date dal professore, ce ne sono solo due:
una per il caso $ |k| < 1 rarr F(k)=1/4sqrt(pi/2)(1-1/(e^2) cosh(2k)) $
e l'altra per il caso $ |k| > 1 rarr F(k)=1/8 sqrt(pi/2)e^(-|k|)(e^2 - e^(-2)) $
Il che mi fa pensare che non abbia proprio capito come analizzare i vari casi
Chiedo scusa se è una cosa banale ma io mi ci sono bloccata sopra e non riesco a venirne a capo >.<
Grazie in anticipo a chi vorrà aiutarmi!

[luc.mm]

Proprietà della trasformata di prodotti con esponenziali.

$ F(e^(i omega_0 x) f(x),omega)=F(u(x), omega - omega_0) $

Infatti:

$ F(cosx f(x), omega)=1/2F(f(x), omega-1)+1/2F(f(x), omega+1) $

[Momoko1]

Grazie mille!!