Trasformata di Fourier
Ho dei dubbi sulla trasformata di Fourier di queste due funzioni
$ ((x^2+2x)/(x^6+8))cos(2x) $
$ (sin(4x)-cos(2x))e^{-8 pi|x|} $
Per la prima funzione posso calcolare la trasformata di $ (x^2+2x)/(x^6+8) $ per cui avrei l'integrale $ int_(-oo)^(+oo) ((x^2+2x)/(x^6+8))e^{-2 pi i k x} dx $ e calcolando i 3 residui dei poli a parte immaginaria negativa per k>0 e i 3 residui a parte immaginaria positiva per k<0 e poi applicare le traslazioni dovute dal coseno spezzato nei due esponenziali?
Qual'è la formula per trovare i residui nella forma Rk, k=1..6 ?? Non riesco a calcolare i residui...
Riguardo la seconda, ho pensato di spezzare seno e coseno in esponenziali ed effettuare gli 8 integrali che vengono (nell'esercizio è specificato di non usare formule note)
Scusate per i dubbi ma sono parecchio confuso
$ ((x^2+2x)/(x^6+8))cos(2x) $
$ (sin(4x)-cos(2x))e^{-8 pi|x|} $
Per la prima funzione posso calcolare la trasformata di $ (x^2+2x)/(x^6+8) $ per cui avrei l'integrale $ int_(-oo)^(+oo) ((x^2+2x)/(x^6+8))e^{-2 pi i k x} dx $ e calcolando i 3 residui dei poli a parte immaginaria negativa per k>0 e i 3 residui a parte immaginaria positiva per k<0 e poi applicare le traslazioni dovute dal coseno spezzato nei due esponenziali?
Qual'è la formula per trovare i residui nella forma Rk, k=1..6 ?? Non riesco a calcolare i residui...
Riguardo la seconda, ho pensato di spezzare seno e coseno in esponenziali ed effettuare gli 8 integrali che vengono (nell'esercizio è specificato di non usare formule note)
Scusate per i dubbi ma sono parecchio confuso
Risposte
Dopo vari tentantivi forse ho capito come trasformare la seconda funzione
1° metodo, ho spezzato tutti gli esponenziali (diventano 4 integrali da zero a infinito per x>0 e 4 integrali da meno infinito a zero per x
2° metodo più veloce
$ e^{-|x|} $ diventa $ 2/(1+k^2) $
$ e^{-8 pi|x|} $ usando il cambio di scala diventa $ 16 pi/(64 pi^2+k^2) $
applico le traslazioni del seno e coseno e ho il risultato
$ 1/(2i)(16 pi/((k-4)^2+64 pi^2))-(16 pi/((k+4)^2+64 pi^2))-1/2(16 pi/((k-2)^2+64 pi^2))+(16 pi/((k+2)^2+64 pi^2)) $
sono giusti entrambi i metodi?
Per la prima funzione invece posso calcolare la trasformata di $ (x^2+2x)/(x^6+8) $ per cui avrei l'integrale $ int_(-oo)^(+oo) ((x^2+2x)/(x^6+8))e^{-2 pi i k x} dx $ e calcolando i 3 residui dei poli a parte immaginaria negativa per k>0 e i 3 residui a parte immaginaria positiva per k<0 e poi applicare le traslazioni dovute dal coseno spezzato nei due esponenziali?
Qual'è la formula per trovare i residui nella forma Rk, k=1..6 ?? Non riesco a calcolare i residui...
1° metodo, ho spezzato tutti gli esponenziali (diventano 4 integrali da zero a infinito per x>0 e 4 integrali da meno infinito a zero per x
2° metodo più veloce
$ e^{-|x|} $ diventa $ 2/(1+k^2) $
$ e^{-8 pi|x|} $ usando il cambio di scala diventa $ 16 pi/(64 pi^2+k^2) $
applico le traslazioni del seno e coseno e ho il risultato
$ 1/(2i)(16 pi/((k-4)^2+64 pi^2))-(16 pi/((k+4)^2+64 pi^2))-1/2(16 pi/((k-2)^2+64 pi^2))+(16 pi/((k+2)^2+64 pi^2)) $
sono giusti entrambi i metodi?
Per la prima funzione invece posso calcolare la trasformata di $ (x^2+2x)/(x^6+8) $ per cui avrei l'integrale $ int_(-oo)^(+oo) ((x^2+2x)/(x^6+8))e^{-2 pi i k x} dx $ e calcolando i 3 residui dei poli a parte immaginaria negativa per k>0 e i 3 residui a parte immaginaria positiva per k<0 e poi applicare le traslazioni dovute dal coseno spezzato nei due esponenziali?
Qual'è la formula per trovare i residui nella forma Rk, k=1..6 ?? Non riesco a calcolare i residui...
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