Trasformata di fourier
Salve, dovrei calcolate la trasformata di fourier della seguente funzione: t(-1)^[t] dove [t] è la parte intera di t.
io avevo pensato,poichè la funzione è periodica di periodo 2, di seguire questa strada
(-1)^[t]=somme per k che va da meno infinito a più infino di c_k *e^pigreco i k t
come calcolo i c_k?poichè la funzione di partenza e moltiplicata per t dovrei derivare?insomma potreste suggerirmi un metodo più semplice?
io avevo pensato,poichè la funzione è periodica di periodo 2, di seguire questa strada
(-1)^[t]=somme per k che va da meno infinito a più infino di c_k *e^pigreco i k t
come calcolo i c_k?poichè la funzione di partenza e moltiplicata per t dovrei derivare?insomma potreste suggerirmi un metodo più semplice?
Risposte
Credo che basti una semplice applicazione delle regolette sulla trasformata.
La tua funzione [tex]$x(t)=t\ (-1)^{[t]}$[/tex] la puoi scrivere come prodotto della funzione periodica [tex]$f(t)=(-1)^{[t]}$[/tex] (di periodo [tex]$2$[/tex], come hai giustamente detto) e di [tex]$t$[/tex]; per calcolare [tex]$\mathcal{F}[x(t)]:=\mathcal{F} [t\ f(t)]$[/tex] in funzione di [tex]$\mathcal{F} [f(t)]$[/tex] mi pare ci sia una regoletta che fa al caso tuo.
Allo stesso modo, c'è una semplice regola (se non la conosci la puoi ricavare direttamente dalla definizione) che consente di ricavare la trasformata della funzione periodica [tex]$f(t)$[/tex].
Quindi se vai a cercare sul libro sei a cavallo.
La tua funzione [tex]$x(t)=t\ (-1)^{[t]}$[/tex] la puoi scrivere come prodotto della funzione periodica [tex]$f(t)=(-1)^{[t]}$[/tex] (di periodo [tex]$2$[/tex], come hai giustamente detto) e di [tex]$t$[/tex]; per calcolare [tex]$\mathcal{F}[x(t)]:=\mathcal{F} [t\ f(t)]$[/tex] in funzione di [tex]$\mathcal{F} [f(t)]$[/tex] mi pare ci sia una regoletta che fa al caso tuo.
Allo stesso modo, c'è una semplice regola (se non la conosci la puoi ricavare direttamente dalla definizione) che consente di ricavare la trasformata della funzione periodica [tex]$f(t)$[/tex].
Quindi se vai a cercare sul libro sei a cavallo.
la formuletta potrebbe essere questa:(F(T))^n=(-2 pigreco i)^n*F(t^n T).Comunque il mio problema non è applicare la formula perchè questo è banale.Poichè la funzione t(-1)^[t] non è sommabile non posso applicare la definizione classica di tasformata di fourier.Quindi il mio problema è come faccio la trasformata di Fourier di (-1)^[t]?
Beh, invero davo per scontato che si trattasse di trasformate nel senso delle distribuzioni (anche perchè la funzione proposta non è sommabile).
Tuttavia, confondendo la trasformata di Fourier con quella di Laplace, ho detto che esiste una formula semplice per il calcolo della [tex]$\mathcal{F}[f(t)]$[/tex]; ciò non è del tutto vero, giacché il calcolo di [tex]$\mathcal{F}[f(t)]$[/tex], come quello della trasformata di ogni funzione periodica, va fatto usando altri strumenti, come il teorema di campionamento.
L'idea è questa: individuo una funzione [tex]$f_0$[/tex] il cui prolungamento periodico mi dia [tex]$f$[/tex] (in questo caso prendo [tex]$f_0(t)=-1\text{, se $-1\leq t<0$; } f_0(t)=1 \text{, se $0\leq t<1$}$[/tex]); derivo [tex]$f_0$[/tex] in senso distribuzionale finché non ho solo impulsi; calcolo la trasformata [tex]$F_0=\mathcal{F}[f_0(t)]$[/tex] usando le regole delle derivate e le trasformate degli impulsi; calcolo [tex]$F=\mathcal{F}[f(t)]$[/tex] col teorema di campionamento.
Tuttavia, confondendo la trasformata di Fourier con quella di Laplace, ho detto che esiste una formula semplice per il calcolo della [tex]$\mathcal{F}[f(t)]$[/tex]; ciò non è del tutto vero, giacché il calcolo di [tex]$\mathcal{F}[f(t)]$[/tex], come quello della trasformata di ogni funzione periodica, va fatto usando altri strumenti, come il teorema di campionamento.
L'idea è questa: individuo una funzione [tex]$f_0$[/tex] il cui prolungamento periodico mi dia [tex]$f$[/tex] (in questo caso prendo [tex]$f_0(t)=-1\text{, se $-1\leq t<0$; } f_0(t)=1 \text{, se $0\leq t<1$}$[/tex]); derivo [tex]$f_0$[/tex] in senso distribuzionale finché non ho solo impulsi; calcolo la trasformata [tex]$F_0=\mathcal{F}[f_0(t)]$[/tex] usando le regole delle derivate e le trasformate degli impulsi; calcolo [tex]$F=\mathcal{F}[f(t)]$[/tex] col teorema di campionamento.
ho trovato una valida alternativa applicando il teorema di fubini.
Fubini? Con una funzione che non è [tex]$L^1$[/tex]? E dove sta l'integrale doppio?
Prova a postare un po' di passaggi... Sono curioso di questa cosa.
Prova a postare un po' di passaggi... Sono curioso di questa cosa.
La regoletta che fa al caso tuo è [tex]\displaystyle \mathcal{F}\left[t^n f(t)\right](\xi)=i^n \frac{\text{d}^n\mathcal{F}[f(t)](\xi)}{\text{d}\xi^n}[/tex], valida usando la definizione [tex]$\mathcal{F}[f(t)](\xi)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{i \xi t}\text{d}\xi$[/tex] per la trasformata. Ovviamente deriva dal fatto che, derivando nel tempo, in frequenza moltiplichi per [tex]$i \xi$[/tex].
la funzione non è sommabile in meno infinito, più infinito però essa individua una distribuzione temperata in quanto a crescenza lenta.
la funzione t* (-1)^[t] (e^-2 pigreco i y t) *psi di y con psi di y appartenente ad s di y è sommabile nell'insieme (t,y) appartenente [k,k+1]x - infinito,più infinito]
applicando il teorema di fubini si ha
integrale tra -infinito e + infinito t* (-1)^[t]*(integrale tra - infinito e più infinito di (e^-2 pigreco i y t) *psi di y in dy)dt
facendo un pò di passaggi si arriva alla soluzione credo.
la funzione t* (-1)^[t] (e^-2 pigreco i y t) *psi di y con psi di y appartenente ad s di y è sommabile nell'insieme (t,y) appartenente [k,k+1]x - infinito,più infinito]
applicando il teorema di fubini si ha
integrale tra -infinito e + infinito t* (-1)^[t]*(integrale tra - infinito e più infinito di (e^-2 pigreco i y t) *psi di y in dy)dt
facendo un pò di passaggi si arriva alla soluzione credo.
[mod="dissonance"]@dpsngl: Ciao, vedo che stai contribuendo al forum su base regolare. In questo caso ti consiglio di dare un'occhiata a questo link per imparare a scrivere correttamente le formule.[/mod]
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