Trasformata di fourier
questa dovrebbe essere la formula base della trasformata di fourier:
allora... mi piacerebbe capire come utilizzarla in pratica...
per esempio facciamo che io ho un'onda audio f(x) (è una funzione con codominio che va da 0 a 256) e io possiedo i dati di questa onda da x=0 a x=8000...
dovrò quindi calcolare l'integrale da 0 a 8000 invece dell'integrale da - a + infinito giusto? vabbè fin qui tutto semplice...
solo una cosa non capisco... cosa devo mettere al posto di -i quando vado a fare il calcolo pratico??
grazie!!
allora... mi piacerebbe capire come utilizzarla in pratica...
per esempio facciamo che io ho un'onda audio f(x) (è una funzione con codominio che va da 0 a 256) e io possiedo i dati di questa onda da x=0 a x=8000...
dovrò quindi calcolare l'integrale da 0 a 8000 invece dell'integrale da - a + infinito giusto? vabbè fin qui tutto semplice...
solo una cosa non capisco... cosa devo mettere al posto di -i quando vado a fare il calcolo pratico??
grazie!!
Risposte
In realtà non è questa l'espressione del teorema di Fourier di maggiore utilità pratica.
Quella da te proposta è la generalizzazione dei coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier ad una funzione non periodica, con la "pulsazione" delle armoniche $omega$ che varia nel continuo e non nel discreto (tra l'altro quel $2 pi$ non è sotto radice).
La formulazione più "utile" è la seguente:
$u(t) = a_0 + Sigma_1^infty a_n cos n omega t + Sigma_1^infty b_n sin n omega t$, con $n$ numero naturale.
Abbiamo $a_0$ valor medio della funzione in un periodo, $a_n = 2/T int_0^T u(t) cos n omega t dt$ e $b_n = 2/T int_0^T u(t) sin n omega t dt$
Come vedi ora le armoniche sono esplicitate in funzione dell'ordine $n$ e facilmente calcolabili, senza che compaiano numeri immaginari.
Questo sviluppo può essere espresso in forma esponenziale complessa:
$u(t) = Sigma_(-infty)^(+infty) hat(u) e^(i n t)$ , con $hat(u) = 1/(2 pi) int_(-pi)^(pi) u(t) e^(- i n t) dt$
Basta ricordare il legame fra funzioni goniometriche e funzione esponenziale dato dalla formula di Eulero: $e^(i theta) = cos theta + i sin theta$
Generalizzando al continuo, si ha la tua espressione della trasformata di Fourier, a cui corrisponde lo sviluppo:
$u(t) = int_(-infty)^(+infty) hat(u) e^(i psi t) dpsi$, con $psi$ numero reale che sostituisce formalmente l' $n$ naturale.
(E' meglio non usare $omega$ perchè ha un altro significato fisico ben preciso).
Quella da te proposta è la generalizzazione dei coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier ad una funzione non periodica, con la "pulsazione" delle armoniche $omega$ che varia nel continuo e non nel discreto (tra l'altro quel $2 pi$ non è sotto radice).
La formulazione più "utile" è la seguente:
$u(t) = a_0 + Sigma_1^infty a_n cos n omega t + Sigma_1^infty b_n sin n omega t$, con $n$ numero naturale.
Abbiamo $a_0$ valor medio della funzione in un periodo, $a_n = 2/T int_0^T u(t) cos n omega t dt$ e $b_n = 2/T int_0^T u(t) sin n omega t dt$
Come vedi ora le armoniche sono esplicitate in funzione dell'ordine $n$ e facilmente calcolabili, senza che compaiano numeri immaginari.
Questo sviluppo può essere espresso in forma esponenziale complessa:
$u(t) = Sigma_(-infty)^(+infty) hat(u) e^(i n t)$ , con $hat(u) = 1/(2 pi) int_(-pi)^(pi) u(t) e^(- i n t) dt$
Basta ricordare il legame fra funzioni goniometriche e funzione esponenziale dato dalla formula di Eulero: $e^(i theta) = cos theta + i sin theta$
Generalizzando al continuo, si ha la tua espressione della trasformata di Fourier, a cui corrisponde lo sviluppo:
$u(t) = int_(-infty)^(+infty) hat(u) e^(i psi t) dpsi$, con $psi$ numero reale che sostituisce formalmente l' $n$ naturale.
(E' meglio non usare $omega$ perchè ha un altro significato fisico ben preciso).
grazie per l'aiuto...
ho ancora un dubbio però.... l'input e l'output della derivata di fourier!
ipotizzerei che l'input sono le frequenze no? e l'output qual'è? l'ampiezza?
grazie!
ho ancora un dubbio però.... l'input e l'output della derivata di fourier!
ipotizzerei che l'input sono le frequenze no? e l'output qual'è? l'ampiezza?
grazie!
Bè, l'input, più precisamente, sono gli ordini delle armoniche (comunque collegati alla pulsazione fondamentale $omega$).
Gli output sono vere e proprie funzioni, non solo ampiezze.
Quello che dici tu si può avere in un'ulteriore formulazione dello sviluppo di Fourier: ponendo $arctg phi = (b_n)/(a_n)$ e $c_n = sqrt((a_n)^2 + (b_n)^2)$, si ha:
$f(t) = a_0 + Sigma_1^infty c_n sin (n omega t + phi)$
Adesso ogni armonica ha una propria ampiezza, data da $c_n$; questo si sfrutta negli "analizzatori di spettro", ovvero in grafici tipo istogrammi nei quali, per ogni frequenza, è riportato il suo "contributo" al segnale totale, ovvero la sua ampiezza.
Gli output sono vere e proprie funzioni, non solo ampiezze.
Quello che dici tu si può avere in un'ulteriore formulazione dello sviluppo di Fourier: ponendo $arctg phi = (b_n)/(a_n)$ e $c_n = sqrt((a_n)^2 + (b_n)^2)$, si ha:
$f(t) = a_0 + Sigma_1^infty c_n sin (n omega t + phi)$
Adesso ogni armonica ha una propria ampiezza, data da $c_n$; questo si sfrutta negli "analizzatori di spettro", ovvero in grafici tipo istogrammi nei quali, per ogni frequenza, è riportato il suo "contributo" al segnale totale, ovvero la sua ampiezza.
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