Trasformata di Fourier

[Sk_Anonymous]

Calcolare la trasformata di Fourier della funzione:

$f(t)=sin|t|+sint/(1+(t-pi)^2)$

[Kroldar]

Notiamo che $sin|t| = sin(t) * sgn(t)$, dove $sgn$ è la funzione "segno".

Ricordiamo le seguenti trasformate notevoli:

$ccF[sin(t)] = pi/j [delta(omega-1) - delta(omega+1)]$

$ccF[sgn(t)] = 2/(jomega)$ (forse però sarebbe più opportuno scrivere $v.p. 2/(jomega)$)

Siccome la trasformata del prodotto è uguale alla convoluzione delle trasformate e la delta è l'elemento neutro rispetto al prodotto di convoluzione, risulta:

$ccF[sin|t|] = -(4pi)/(omega^2-1)$

Passiamo ora all'altro addendo, ricordando un'altra trasformata già nota:

$ccF[1/(1+t^2)] = pi * e^(-|omega|)$

Per la proprietà di traslazione nel tempo, risulta:

$ccF[1/(1+(t-pi)^2)] = e^(-jomegapi) * pi * e^(-|omega|)$

Ora si tratta di fare la convoluzione... la lascio di buon grado ai volenterosi