Trasformata di Fourier
Perchè si introducono le trasformate di Fourier in ambito distribuzionale?
Inoltre,la trasformata di Fourier di una funzione test è o non è una funzione test nello spazio $D$ delle funzioni test?
Inoltre,la trasformata di Fourier di una funzione test è o non è una funzione test nello spazio $D$ delle funzioni test?
Risposte
"Aeneas":
Perchè si introducono le trasformate di Fourier in ambito distribuzionale?
Inoltre,la trasformata di Fourier di una funzione test è o non è una funzione test nello spazio $D$ delle funzioni test?
Per quanto riguarda la seconda domanda, sì: la trasfomata di Fourier è una biezione dello spazio $D$ delle funzioni a decrescenza rapida in sé.
Per quanto riguarda la prima, forse può aiutarti
http://www.lorenzopantieri.net/LaTeX_fi ... uzioni.pdf
Ciao,
L.
"Lorenzo Pantieri":
Per quanto riguarda la seconda domanda, sì: la trasfomata di Fourier è una biezione dello spazio $D$ delle funzioni a decrescenza rapida in sé.
Qui mi sembra che ci sia un po' di confusione: $D$ è lo spazio delle funzioni $C^\infty_c$ che NON viene mappato in sè (anzi, per le proprietà del supporto la trasformata di una funzione a supporto compatto non è MAI una funzione a supporto compatto, prova a vederlo per esercizio); invece lo spazio $S$ delle funzioni rapidamente decrescenti viene mappato in sè.
"Aeneas":
Perchè si introducono le trasformate di Fourier in ambito distribuzionale?
Per come hanno presentato la cosa a me, direi che nell'ambito delle distribuzioni temperate si introduce la trasformazione di Fourier per via di un importante risultato: la trasformata di Fourier di una distribuzione temperata è ancora una distribuzione temperata. In effetti lo spazio naturale in cui si definisce la trasformazione di Fourier è $L^1$, tuttavia la trasformazione definita in $L^1$ ha un inconveniente: non è simmetrica; quindi in generale la trasformata di una funzione sommabile non è a sua volta sommabile e quindi trasformabile. E' altresì vero che si può ottenere una trasformazione di Fourier simmetrica se si opera in $L^2$, ma lavorare in ambito distribuzionale è più agevole, poiché le distribuzioni temperate si caratterizzano mediante le funzioni a crescenza lenta (che in generale non sono né sommabili né tantomeno quadrato sommabili).
"Aeneas":
Inoltre,la trasformata di Fourier di una funzione test è o non è una funzione test nello spazio $D$ delle funzioni test?
Se lavoriamo nell'ambito delle distribuzioni temperate, le funzioni test sono funzioni a decrescenza rapida e la trasformata di Fourier di una funzione a decrescenza rapida è ancora una funzione a decrescenza rapida e quindi una funzione test per una distribuzione temperata.
Quando parli di trasformazione di Fourier in ambito distribuzionale credo dovresti fare esplicito riferimento alle distribuzioni temperate.
"Lorenzo Pantieri":
Per quanto riguarda la seconda domanda, sì: la trasfomata di Fourier è una biezione dello spazio $D$ delle funzioni a decrescenza rapida in sé.
"irenze":
Qui mi sembra che ci sia un po' di confusione: $D$ è lo spazio delle funzioni $C^\infty_c$ che NON viene mappato in sè (anzi, per le proprietà del supporto la trasformata di una funzione a supporto compatto non è MAI una funzione a supporto compatto, prova a vederlo per esercizio); invece lo spazio $S$ delle funzioni rapidamente decrescenti viene mappato in sè.
Rileggi bene la mia osservazione: parlo espressamente delle funzioni a decrescenza rapida (per le quali è definita la FT). Stai dicendo che esiste una regola per cui non si può usare la lettera D per indicare questo spazio, ma bisogna usare solo la S?
"Lorenzo Pantieri":
[quote="Lorenzo Pantieri"]Per quanto riguarda la seconda domanda, sì: la trasfomata di Fourier è una biezione dello spazio $D$ delle funzioni a decrescenza rapida in sé.
"irenze":
Qui mi sembra che ci sia un po' di confusione: $D$ è lo spazio delle funzioni $C^\infty_c$ che NON viene mappato in sè (anzi, per le proprietà del supporto la trasformata di una funzione a supporto compatto non è MAI una funzione a supporto compatto, prova a vederlo per esercizio); invece lo spazio $S$ delle funzioni rapidamente decrescenti viene mappato in sè.
Rileggi bene la mia osservazione: parlo espressamente delle funzioni a decrescenza rapida (per le quali è definita la FT). Stai dicendo che esiste una regola per cui non si può usare la lettera D per indicare questo spazio, ma bisogna usare solo la S?
[/quote]Avevo letto bene e volevo sottolineare la distinzione tra funzioni test e funzioni a decrescenza rapida, mi dispiace che tu abbia frainteso.
Comunque la notazione è STANDARD (credo che sia quella di Schwartz) e quindi Aeneas parlando di $D$ si riferiva alle funzioni $C^\infty$ a supporto compatto (quelle comunemente chiamate funzioni test), e se tu gli rispondi di sì stai sbagliando (nel senso che quantomeno non hai capito la sua domanda).
"irenze":
[quote="Lorenzo Pantieri"][quote="Lorenzo Pantieri"]Per quanto riguarda la seconda domanda, sì: la trasfomata di Fourier è una biezione dello spazio $D$ delle funzioni a decrescenza rapida in sé.
"irenze":
Qui mi sembra che ci sia un po' di confusione: $D$ è lo spazio delle funzioni $C^\infty_c$ che NON viene mappato in sè (anzi, per le proprietà del supporto la trasformata di una funzione a supporto compatto non è MAI una funzione a supporto compatto, prova a vederlo per esercizio); invece lo spazio $S$ delle funzioni rapidamente decrescenti viene mappato in sè.
Rileggi bene la mia osservazione: parlo espressamente delle funzioni a decrescenza rapida (per le quali è definita la FT). Stai dicendo che esiste una regola per cui non si può usare la lettera D per indicare questo spazio, ma bisogna usare solo la S?
[/quote]Avevo letto bene e volevo sottolineare la distinzione tra funzioni test e funzioni a decrescenza rapida, mi dispiace che tu abbia frainteso.
Comunque la notazione è STANDARD (credo che sia quella di Schwartz) e quindi Aeneas parlando di $D$ si riferiva alle funzioni $C^\infty$ a supporto compatto (quelle comunemente chiamate funzioni test), e se tu gli rispondi di sì stai sbagliando (nel senso che quantomeno non hai capito la sua domanda).[/quote]
Io pensavo che l'affermazione giusta fosse che la trasformata di Fourier di una funzione test non è una funzione test in D....mah
"Aeneas":
Io pensavo che l'affermazione giusta fosse che la trasformata di Fourier di una funzione test non è una funzione test in D....mah
È esattamente quel che stavo dicendo io... (e credo anche Lorenzo, ma ha fatto un po' di confusione con le notazioni)
"irenze":
Qui mi sembra che ci sia un po' di confusione: $D$ è lo spazio delle funzioni $C^\infty_c$ che NON viene mappato in sè (anzi, per le proprietà del supporto la trasformata di una funzione a supporto compatto non è MAI una funzione a supporto compatto, prova a vederlo per esercizio); invece lo spazio $S$ delle funzioni rapidamente decrescenti viene mappato in sè.
Allora ok,è questo il motivo per cui si introduce lo spazio di Schwartz,distribuzioni temperate e via dicendo.
Eccomi qua nella giusta sezione...allora posso chiedervi gentilmente..a proposito della DFT, il fatto della normalizzazione..il motivo percui si effettua...e in cosa consiste?grazie a tutti 
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