Trasformata di Fourier
Non mi è chiara una cosa: mi è noto che la funzione costante $1$ non è trasformabile secondo Fourier in ambito classico mentre lo è in ambito distribuzionale;a questo punto mi chiedo....la funzione $chi_[[a,b]](x)={(1 "in" [a,b]),(0 "altrove"):}$ si comporta come la funzione $1$ oppure è Fourier-
trasformabile in ambito classico?
Seconda domanda: perchè in ambito distribuzionale non sussistono condizioni iniziali?
trasformabile in ambito classico?
Seconda domanda: perchè in ambito distribuzionale non sussistono condizioni iniziali?
Risposte
Scusa ma quella funzione non è una sorta di rect?
"Tipper":
Scusa ma quella funzione non è una sorta di rect?
è un po' diversa nel senso che la funzione $rect(alpha)$ vale 1 quando $alpha<1/2$ mentre nella funzione $chi_[a,b](x)$ i numeri $a,b$ possono essere qualunque.
Comunque, almeno a occhio, direi che è trasformabile anche in senso classico...
Perchè?Non riesco a capirlo. Forse perchè vale $1$ in un intervallo chiuso e limitato? mentre la funzione $1$ vale $1$ dappertutto?
Non so se è una valida motivazione, ma se l'intervallo è chiuso e limitato l'integrale secondo cui è definita la trasformata converge per forza.
"Tipper":
Non so se è una valida motivazione, ma se l'intervallo è chiuso e limitato l'integrale secondo cui è definita la trasformata converge per forza.
Certo che è una valida motivazione... precisamente, essendo a supporto compatto, quella funzione è trasformabile secondo Fourier e la sua trasformata è una funzione ordinaria. Certo, nulla si può dire riguardo la sommabilità della trasformata... ecco il grande inconveniente della consueta trasformazione di Fourier: essa è asimmetrica, dunque in generale non si può applicare ripetutamente.
Per esistere la trasformata di fourier in senso classico di una funzione occorre che la funzione sia $in L^1(RR)$ ovvero deve esssere $int_(RR)|f(x)|dx<+infty$
"Ainéias":
Per esistere la trasformata di fourier in senso classico di una funzione occorre che la funzione sia $in L^1(RR)$ ovvero deve esssere $int_(RR)|f(x)|dx<+infty$
Esattamente
È la condizione di Plancherel per caso? Ricordo giusto?
"Kroldar":
[quote="Ainéias"]Per esistere la trasformata di fourier in senso classico di una funzione occorre che la funzione sia $in L^1(RR)$ ovvero deve esssere $int_(RR)|f(x)|dx<+infty$
Esattamente[/quote]
Quindi la trasformata di Fourier della suddetta funzione è calcolabile in senso classico ed è data da $int_a^be^(-iomegax)dx$?
"Kroldar":
Certo, nulla si può dire riguardo la sommabilità della trasformata... ecco il grande inconveniente della consueta trasformazione di Fourier: essa è asimmetrica, dunque in generale non si può applicare ripetutamente.
Ciò significa che in ambito distribuzionale la trasformata di fourier è sempre sommabile?
"Tipper":
È la condizione di Plancherel per caso? Ricordo giusto?
Da quanto ne so io, il teorema di Plancherel entra in gioco per definire la trasformazione di Fourier: $F:L^2 to L^2$
"Tipper":
È la condizione di Plancherel per caso? Ricordo giusto?
boh...negli appunti non c'è nessun nome;è una definizione e basta.
"Ainéias":
Quindi la trasformata di Fourier della suddetta funzione è calcolabile in senso classico ed è data da $int_a^be^(-iomegax)dx$?
Giusto
Boh, allora mi ricordo male...
Per quanto riguarda la seconda domanda? Non sapete illuminarmi?
"Ainéias":
Ciò significa che in ambito distribuzionale la trasformata di fourier è sempre sommabile?
No... in ambito distribuzionale si definisce la trasformata di Fourier di una distribuzione temperata e poi si dimostra, tramite le due formule fondamentali, che la trasformata di Fourier di una distribuzione temperata è ancora una distribuzione temperata, sicché la trasformazione può essere applicata indefinitamente.
Un'importante e immediata applicazione della trasformazione di Fourier "simmetrica" così ottenuta è la formula di dualità.
Indico con $ccF_c$ la trasformata classica
e con $ccF_d$ la trasformata in ambito distribuzione.
Se una funzione è $ccF_c$ $=>$ è anche $ccF_d$?
e con $ccF_d$ la trasformata in ambito distribuzione.
Se una funzione è $ccF_c$ $=>$ è anche $ccF_d$?
"Ainéias":
Indico con $ccF_c$ la trasformata classica
e con $ccF_d$ la trasformata in ambito distribuzione.
Se una funzione è $ccF_c$ $=>$ è anche $ccF_d$?
Sì, la trasformazione in ambito distribuzionale non è altro che un'estensione di quella classica.
"Kroldar":
[quote="Ainéias"]Indico con $ccF_c$ la trasformata classica
e con $ccF_d$ la trasformata in ambito distribuzione.
Se una funzione è $ccF_c$ $=>$ è anche $ccF_d$?
Sì, la trasformazione in ambito distribuzionale non è altro che un'estensione di quella classica.[/quote]
Naturalmente era sottinteso che non vale il contrario.
Per quanto riguarda la seconda domanda, l'ho formulata male oppure non sapete rispondermi?
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